Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hhip Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hhip 27418
 Description: The inner product operation of Hilbert space. (Contributed by NM, 17-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
hhnv.1 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, norm
Assertion
Ref Expression
hhip ·ih = (·𝑖OLD𝑈)

Proof of Theorem hhip
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 polid 27400 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih 𝑦) = (((((norm‘(𝑥 + 𝑦))↑2) − ((norm‘(𝑥 𝑦))↑2)) + (i · (((norm‘(𝑥 + (i · 𝑦)))↑2) − ((norm‘(𝑥 (i · 𝑦)))↑2)))) / 4))
2 hhnv.1 . . . . . 6 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, norm
32hhnv 27406 . . . . 5 𝑈 ∈ NrmCVec
42hhba 27408 . . . . . 6 ℋ = (BaseSet‘𝑈)
52hhva 27407 . . . . . 6 + = ( +𝑣𝑈)
62hhsm 27410 . . . . . 6 · = ( ·𝑠OLD𝑈)
72hhnm 27412 . . . . . 6 norm = (normCV𝑈)
8 eqid 2610 . . . . . 6 (·𝑖OLD𝑈) = (·𝑖OLD𝑈)
92hhvs 27411 . . . . . 6 = ( −𝑣𝑈)
104, 5, 6, 7, 8, 9ipval3 26948 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥(·𝑖OLD𝑈)𝑦) = (((((norm‘(𝑥 + 𝑦))↑2) − ((norm‘(𝑥 𝑦))↑2)) + (i · (((norm‘(𝑥 + (i · 𝑦)))↑2) − ((norm‘(𝑥 (i · 𝑦)))↑2)))) / 4))
113, 10mp3an1 1403 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥(·𝑖OLD𝑈)𝑦) = (((((norm‘(𝑥 + 𝑦))↑2) − ((norm‘(𝑥 𝑦))↑2)) + (i · (((norm‘(𝑥 + (i · 𝑦)))↑2) − ((norm‘(𝑥 (i · 𝑦)))↑2)))) / 4))
121, 11eqtr4d 2647 . . 3 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih 𝑦) = (𝑥(·𝑖OLD𝑈)𝑦))
1312rgen2a 2960 . 2 𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih 𝑦) = (𝑥(·𝑖OLD𝑈)𝑦)
14 ax-hfi 27320 . . 3 ·ih :( ℋ × ℋ)⟶ℂ
154, 8ipf 26952 . . . 4 (𝑈 ∈ NrmCVec → (·𝑖OLD𝑈):( ℋ × ℋ)⟶ℂ)
163, 15ax-mp 5 . . 3 (·𝑖OLD𝑈):( ℋ × ℋ)⟶ℂ
17 ffn 5958 . . . 4 ( ·ih :( ℋ × ℋ)⟶ℂ → ·ih Fn ( ℋ × ℋ))
18 ffn 5958 . . . 4 ((·𝑖OLD𝑈):( ℋ × ℋ)⟶ℂ → (·𝑖OLD𝑈) Fn ( ℋ × ℋ))
19 eqfnov2 6665 . . . 4 (( ·ih Fn ( ℋ × ℋ) ∧ (·𝑖OLD𝑈) Fn ( ℋ × ℋ)) → ( ·ih = (·𝑖OLD𝑈) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih 𝑦) = (𝑥(·𝑖OLD𝑈)𝑦)))
2017, 18, 19syl2an 493 . . 3 (( ·ih :( ℋ × ℋ)⟶ℂ ∧ (·𝑖OLD𝑈):( ℋ × ℋ)⟶ℂ) → ( ·ih = (·𝑖OLD𝑈) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih 𝑦) = (𝑥(·𝑖OLD𝑈)𝑦)))
2114, 16, 20mp2an 704 . 2 ( ·ih = (·𝑖OLD𝑈) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih 𝑦) = (𝑥(·𝑖OLD𝑈)𝑦))
2213, 21mpbir 220 1 ·ih = (·𝑖OLD𝑈)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ⟨cop 4131   × cxp 5036   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ici 9817   + caddc 9818   · cmul 9820   − cmin 10145   / cdiv 10563  2c2 10947  4c4 10949  ↑cexp 12722  NrmCVeccnv 26823  ·𝑖OLDcdip 26939   ℋchil 27160   +ℎ cva 27161   ·ℎ csm 27162   ·ih csp 27163  normℎcno 27164   −ℎ cmv 27166 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-hilex 27240  ax-hfvadd 27241  ax-hvcom 27242  ax-hvass 27243  ax-hv0cl 27244  ax-hvaddid 27245  ax-hfvmul 27246  ax-hvmulid 27247  ax-hvmulass 27248  ax-hvdistr1 27249  ax-hvdistr2 27250  ax-hvmul0 27251  ax-hfi 27320  ax-his1 27323  ax-his2 27324  ax-his3 27325  ax-his4 27326 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265  df-grpo 26731  df-gid 26732  df-ginv 26733  df-gdiv 26734  df-ablo 26783  df-vc 26798  df-nv 26831  df-va 26834  df-ba 26835  df-sm 26836  df-0v 26837  df-vs 26838  df-nmcv 26839  df-dip 26940  df-hnorm 27209  df-hvsub 27212 This theorem is referenced by:  bcsiHIL  27421  occllem  27546  hmopbdoptHIL  28231
 Copyright terms: Public domain W3C validator