Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  heiborlem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem heiborlem7 32786
 Description: Lemma for heibor 32790. Since the sizes of the balls decrease exponentially, the sequence converges to zero. (Contributed by Jeff Madsen, 23-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
heibor.1 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
heibor.3 𝐾 = {𝑢 ∣ ¬ ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)𝑢 𝑣}
heibor.4 𝐺 = {⟨𝑦, 𝑛⟩ ∣ (𝑛 ∈ ℕ0𝑦 ∈ (𝐹𝑛) ∧ (𝑦𝐵𝑛) ∈ 𝐾)}
heibor.5 𝐵 = (𝑧𝑋, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧(ball‘𝐷)(1 / (2↑𝑚))))
heibor.6 (𝜑𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
heibor.7 (𝜑𝐹:ℕ0⟶(𝒫 𝑋 ∩ Fin))
heibor.8 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ0 𝑋 = 𝑦 ∈ (𝐹𝑛)(𝑦𝐵𝑛))
heibor.9 (𝜑 → ∀𝑥𝐺 ((𝑇𝑥)𝐺((2nd𝑥) + 1) ∧ ((𝐵𝑥) ∩ ((𝑇𝑥)𝐵((2nd𝑥) + 1))) ∈ 𝐾))
heibor.10 (𝜑𝐶𝐺0)
heibor.11 𝑆 = seq0(𝑇, (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐶, (𝑚 − 1))))
heibor.12 𝑀 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ⟨(𝑆𝑛), (3 / (2↑𝑛))⟩)
Assertion
Ref Expression
heiborlem7 𝑟 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ (2nd ‘(𝑀𝑘)) < 𝑟
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑦,𝑘,𝑟,𝑢,𝐹   𝑘,𝐺,𝑥   𝜑,𝑘,𝑟,𝑥   𝑘,𝑚,𝑣,𝑧,𝐷,𝑛,𝑟,𝑢,𝑥,𝑦   𝑘,𝑀,𝑚,𝑟,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑇,𝑚,𝑛,𝑥,𝑦,𝑧   𝐵,𝑛,𝑢,𝑣,𝑦   𝑘,𝐽,𝑚,𝑛,𝑟,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑈,𝑛,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑆,𝑘,𝑚,𝑛,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑘,𝑋,𝑚,𝑛,𝑟,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝐶,𝑚,𝑛,𝑢,𝑣,𝑦   𝑛,𝐾,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑧,𝑣,𝑢,𝑚,𝑛)   𝐵(𝑧,𝑘,𝑚,𝑟)   𝐶(𝑥,𝑧,𝑘,𝑟)   𝑆(𝑟)   𝑇(𝑣,𝑢,𝑘,𝑟)   𝑈(𝑘,𝑚,𝑟)   𝐹(𝑧,𝑣,𝑚)   𝐺(𝑦,𝑧,𝑣,𝑢,𝑚,𝑛,𝑟)   𝐾(𝑣,𝑢,𝑘,𝑚,𝑟)   𝑀(𝑣,𝑛)

Proof of Theorem heiborlem7
StepHypRef Expression
1 3re 10971 . . . . . . 7 3 ∈ ℝ
2 3pos 10991 . . . . . . 7 0 < 3
31, 2elrpii 11711 . . . . . 6 3 ∈ ℝ+
4 rpdivcl 11732 . . . . . 6 ((𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 3 ∈ ℝ+) → (𝑟 / 3) ∈ ℝ+)
53, 4mpan2 703 . . . . 5 (𝑟 ∈ ℝ+ → (𝑟 / 3) ∈ ℝ+)
6 2re 10967 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
7 1lt2 11071 . . . . . 6 1 < 2
8 expnlbnd 12856 . . . . . 6 (((𝑟 / 3) ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 1 < 2) → ∃𝑘 ∈ ℕ (1 / (2↑𝑘)) < (𝑟 / 3))
96, 7, 8mp3an23 1408 . . . . 5 ((𝑟 / 3) ∈ ℝ+ → ∃𝑘 ∈ ℕ (1 / (2↑𝑘)) < (𝑟 / 3))
105, 9syl 17 . . . 4 (𝑟 ∈ ℝ+ → ∃𝑘 ∈ ℕ (1 / (2↑𝑘)) < (𝑟 / 3))
11 2nn 11062 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℕ
12 nnnn0 11176 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
13 nnexpcl 12735 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2↑𝑘) ∈ ℕ)
1411, 12, 13sylancr 694 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → (2↑𝑘) ∈ ℕ)
1514nnrpd 11746 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (2↑𝑘) ∈ ℝ+)
16 rpcn 11717 . . . . . . . . . 10 ((2↑𝑘) ∈ ℝ+ → (2↑𝑘) ∈ ℂ)
17 rpne0 11724 . . . . . . . . . 10 ((2↑𝑘) ∈ ℝ+ → (2↑𝑘) ≠ 0)
18 3cn 10972 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℂ
19 divrec 10580 . . . . . . . . . . 11 ((3 ∈ ℂ ∧ (2↑𝑘) ∈ ℂ ∧ (2↑𝑘) ≠ 0) → (3 / (2↑𝑘)) = (3 · (1 / (2↑𝑘))))
2018, 19mp3an1 1403 . . . . . . . . . 10 (((2↑𝑘) ∈ ℂ ∧ (2↑𝑘) ≠ 0) → (3 / (2↑𝑘)) = (3 · (1 / (2↑𝑘))))
2116, 17, 20syl2anc 691 . . . . . . . . 9 ((2↑𝑘) ∈ ℝ+ → (3 / (2↑𝑘)) = (3 · (1 / (2↑𝑘))))
2215, 21syl 17 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → (3 / (2↑𝑘)) = (3 · (1 / (2↑𝑘))))
2322adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑟 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) → (3 / (2↑𝑘)) = (3 · (1 / (2↑𝑘))))
2423breq1d 4593 . . . . . 6 ((𝑟 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) → ((3 / (2↑𝑘)) < 𝑟 ↔ (3 · (1 / (2↑𝑘))) < 𝑟))
2514nnrecred 10943 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → (1 / (2↑𝑘)) ∈ ℝ)
26 rpre 11715 . . . . . . 7 (𝑟 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ)
271, 2pm3.2i 470 . . . . . . . 8 (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)
28 ltmuldiv2 10776 . . . . . . . 8 (((1 / (2↑𝑘)) ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)) → ((3 · (1 / (2↑𝑘))) < 𝑟 ↔ (1 / (2↑𝑘)) < (𝑟 / 3)))
2927, 28mp3an3 1405 . . . . . . 7 (((1 / (2↑𝑘)) ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ((3 · (1 / (2↑𝑘))) < 𝑟 ↔ (1 / (2↑𝑘)) < (𝑟 / 3)))
3025, 26, 29syl2anr 494 . . . . . 6 ((𝑟 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) → ((3 · (1 / (2↑𝑘))) < 𝑟 ↔ (1 / (2↑𝑘)) < (𝑟 / 3)))
3124, 30bitrd 267 . . . . 5 ((𝑟 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) → ((3 / (2↑𝑘)) < 𝑟 ↔ (1 / (2↑𝑘)) < (𝑟 / 3)))
3231rexbidva 3031 . . . 4 (𝑟 ∈ ℝ+ → (∃𝑘 ∈ ℕ (3 / (2↑𝑘)) < 𝑟 ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ (1 / (2↑𝑘)) < (𝑟 / 3)))
3310, 32mpbird 246 . . 3 (𝑟 ∈ ℝ+ → ∃𝑘 ∈ ℕ (3 / (2↑𝑘)) < 𝑟)
34 fveq2 6103 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑘 → (𝑆𝑛) = (𝑆𝑘))
35 oveq2 6557 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑘 → (2↑𝑛) = (2↑𝑘))
3635oveq2d 6565 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑘 → (3 / (2↑𝑛)) = (3 / (2↑𝑘)))
3734, 36opeq12d 4348 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑘 → ⟨(𝑆𝑛), (3 / (2↑𝑛))⟩ = ⟨(𝑆𝑘), (3 / (2↑𝑘))⟩)
38 heibor.12 . . . . . . . 8 𝑀 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ⟨(𝑆𝑛), (3 / (2↑𝑛))⟩)
39 opex 4859 . . . . . . . 8 ⟨(𝑆𝑘), (3 / (2↑𝑘))⟩ ∈ V
4037, 38, 39fvmpt 6191 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑀𝑘) = ⟨(𝑆𝑘), (3 / (2↑𝑘))⟩)
4140fveq2d 6107 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → (2nd ‘(𝑀𝑘)) = (2nd ‘⟨(𝑆𝑘), (3 / (2↑𝑘))⟩))
42 fvex 6113 . . . . . . 7 (𝑆𝑘) ∈ V
43 ovex 6577 . . . . . . 7 (3 / (2↑𝑘)) ∈ V
4442, 43op2nd 7068 . . . . . 6 (2nd ‘⟨(𝑆𝑘), (3 / (2↑𝑘))⟩) = (3 / (2↑𝑘))
4541, 44syl6eq 2660 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → (2nd ‘(𝑀𝑘)) = (3 / (2↑𝑘)))
4645breq1d 4593 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ → ((2nd ‘(𝑀𝑘)) < 𝑟 ↔ (3 / (2↑𝑘)) < 𝑟))
4746rexbiia 3022 . . 3 (∃𝑘 ∈ ℕ (2nd ‘(𝑀𝑘)) < 𝑟 ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ (3 / (2↑𝑘)) < 𝑟)
4833, 47sylibr 223 . 2 (𝑟 ∈ ℝ+ → ∃𝑘 ∈ ℕ (2nd ‘(𝑀𝑘)) < 𝑟)
4948rgen 2906 1 𝑟 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ (2nd ‘(𝑀𝑘)) < 𝑟
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  {cab 2596   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  ∃wrex 2897   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  ifcif 4036  𝒫 cpw 4108  ⟨cop 4131  ∪ cuni 4372  ∪ ciun 4455   class class class wbr 4583  {copab 4642   ↦ cmpt 4643  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↦ cmpt2 6551  2nd c2nd 7058  Fincfn 7841  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   < clt 9953   − cmin 10145   / cdiv 10563  ℕcn 10897  2c2 10947  3c3 10948  ℕ0cn0 11169  ℝ+crp 11708  seqcseq 12663  ↑cexp 12722  ballcbl 19554  MetOpencmopn 19557  CMetcms 22860 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723 This theorem is referenced by:  heiborlem8  32787  heiborlem9  32788
 Copyright terms: Public domain W3C validator