Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hashunif Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashunif 28949
 Description: The cardinality of a disjoint finite union of finite sets. Cf. hashuni 14397. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
hashiunf.1 𝑥𝜑
hashiunf.3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
hashunif.4 (𝜑𝐴 ⊆ Fin)
hashunif.5 (𝜑Disj 𝑥𝐴 𝑥)
Assertion
Ref Expression
hashunif (𝜑 → (#‘ 𝐴) = Σ𝑥𝐴 (#‘𝑥))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem hashunif
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uniiun 4509 . . 3 𝐴 = 𝑥𝐴 𝑥
21fveq2i 6106 . 2 (#‘ 𝐴) = (#‘ 𝑥𝐴 𝑥)
3 hashiunf.3 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
4 hashunif.4 . . . . 5 (𝜑𝐴 ⊆ Fin)
54sselda 3568 . . . 4 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ Fin)
6 hashunif.5 . . . . 5 (𝜑Disj 𝑥𝐴 𝑥)
7 id 22 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦𝑥 = 𝑦)
87cbvdisjv 4564 . . . . 5 (Disj 𝑥𝐴 𝑥Disj 𝑦𝐴 𝑦)
96, 8sylib 207 . . . 4 (𝜑Disj 𝑦𝐴 𝑦)
103, 5, 9hashiun 14395 . . 3 (𝜑 → (#‘ 𝑦𝐴 𝑦) = Σ𝑦𝐴 (#‘𝑦))
117cbviunv 4495 . . . . 5 𝑥𝐴 𝑥 = 𝑦𝐴 𝑦
1211a1i 11 . . . 4 (𝜑 𝑥𝐴 𝑥 = 𝑦𝐴 𝑦)
1312fveq2d 6107 . . 3 (𝜑 → (#‘ 𝑥𝐴 𝑥) = (#‘ 𝑦𝐴 𝑦))
14 fveq2 6103 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (#‘𝑥) = (#‘𝑦))
1514cbvsumv 14274 . . . 4 Σ𝑥𝐴 (#‘𝑥) = Σ𝑦𝐴 (#‘𝑦)
1615a1i 11 . . 3 (𝜑 → Σ𝑥𝐴 (#‘𝑥) = Σ𝑦𝐴 (#‘𝑦))
1710, 13, 163eqtr4d 2654 . 2 (𝜑 → (#‘ 𝑥𝐴 𝑥) = Σ𝑥𝐴 (#‘𝑥))
182, 17syl5eq 2656 1 (𝜑 → (#‘ 𝐴) = Σ𝑥𝐴 (#‘𝑥))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475  Ⅎwnf 1699   ∈ wcel 1977   ⊆ wss 3540  ∪ cuni 4372  ∪ ciun 4455  Disj wdisj 4553  ‘cfv 5804  Fincfn 7841  #chash 12979  Σcsu 14264 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-disj 4554  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265 This theorem is referenced by:  hasheuni  29474
 Copyright terms: Public domain W3C validator