Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashnnn0genn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashnnn0genn0 12993
 Description: If the size of a set is not a nonnegative integer, it is greater than or equal to any nonnegative integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
hashnnn0genn0 ((𝑀𝑉 ∧ (#‘𝑀) ∉ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ≤ (#‘𝑀))

Proof of Theorem hashnnn0genn0
StepHypRef Expression
1 df-nel 2783 . . . 4 ((#‘𝑀) ∉ ℕ0 ↔ ¬ (#‘𝑀) ∈ ℕ0)
2 pm2.21 119 . . . 4 (¬ (#‘𝑀) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑀) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (#‘𝑀)))
31, 2sylbi 206 . . 3 ((#‘𝑀) ∉ ℕ0 → ((#‘𝑀) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (#‘𝑀)))
433ad2ant2 1076 . 2 ((𝑀𝑉 ∧ (#‘𝑀) ∉ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((#‘𝑀) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (#‘𝑀)))
5 nn0re 11178 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
6 ltpnf 11830 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 < +∞)
75, 6syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 < +∞)
85rexrd 9968 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ*)
9 pnfxr 9971 . . . . . 6 +∞ ∈ ℝ*
10 xrltle 11858 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑁 < +∞ → 𝑁 ≤ +∞))
118, 9, 10sylancl 693 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 < +∞ → 𝑁 ≤ +∞))
127, 11mpd 15 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ≤ +∞)
13 breq2 4587 . . . 4 ((#‘𝑀) = +∞ → (𝑁 ≤ (#‘𝑀) ↔ 𝑁 ≤ +∞))
1412, 13syl5ibrcom 236 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((#‘𝑀) = +∞ → 𝑁 ≤ (#‘𝑀)))
15143ad2ant3 1077 . 2 ((𝑀𝑉 ∧ (#‘𝑀) ∉ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((#‘𝑀) = +∞ → 𝑁 ≤ (#‘𝑀)))
16 hashnn0pnf 12992 . . 3 (𝑀𝑉 → ((#‘𝑀) ∈ ℕ0 ∨ (#‘𝑀) = +∞))
17163ad2ant1 1075 . 2 ((𝑀𝑉 ∧ (#‘𝑀) ∉ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((#‘𝑀) ∈ ℕ0 ∨ (#‘𝑀) = +∞))
184, 15, 17mpjaod 395 1 ((𝑀𝑉 ∧ (#‘𝑀) ∉ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ≤ (#‘𝑀))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 382   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ∉ wnel 2781   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  ℝcr 9814  +∞cpnf 9950  ℝ*cxr 9952   < clt 9953   ≤ cle 9954  ℕ0cn0 11169  #chash 12979 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-hash 12980 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator