Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashnn0n0nn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashnn0n0nn 13041
 Description: If a nonnegative integer is the size of a set which contains at least one element, this integer is a positive integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
hashnn0n0nn (((𝑉𝑊𝑌 ∈ ℕ0) ∧ ((#‘𝑉) = 𝑌𝑁𝑉)) → 𝑌 ∈ ℕ)

Proof of Theorem hashnn0n0nn
StepHypRef Expression
1 ne0i 3880 . . . . . . . 8 (𝑁𝑉𝑉 ≠ ∅)
2 hashge1 13039 . . . . . . . 8 ((𝑉𝑊𝑉 ≠ ∅) → 1 ≤ (#‘𝑉))
31, 2sylan2 490 . . . . . . 7 ((𝑉𝑊𝑁𝑉) → 1 ≤ (#‘𝑉))
4 simpr 476 . . . . . . . . 9 ((1 ≤ (#‘𝑉) ∧ (#‘𝑉) ∈ ℕ0) → (#‘𝑉) ∈ ℕ0)
5 0lt1 10429 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 1
6 0re 9919 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ ℝ
7 1re 9918 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℝ
86, 7ltnlei 10037 . . . . . . . . . . . . 13 (0 < 1 ↔ ¬ 1 ≤ 0)
95, 8mpbi 219 . . . . . . . . . . . 12 ¬ 1 ≤ 0
10 breq2 4587 . . . . . . . . . . . 12 ((#‘𝑉) = 0 → (1 ≤ (#‘𝑉) ↔ 1 ≤ 0))
119, 10mtbiri 316 . . . . . . . . . . 11 ((#‘𝑉) = 0 → ¬ 1 ≤ (#‘𝑉))
1211necon2ai 2811 . . . . . . . . . 10 (1 ≤ (#‘𝑉) → (#‘𝑉) ≠ 0)
1312adantr 480 . . . . . . . . 9 ((1 ≤ (#‘𝑉) ∧ (#‘𝑉) ∈ ℕ0) → (#‘𝑉) ≠ 0)
14 elnnne0 11183 . . . . . . . . 9 ((#‘𝑉) ∈ ℕ ↔ ((#‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑉) ≠ 0))
154, 13, 14sylanbrc 695 . . . . . . . 8 ((1 ≤ (#‘𝑉) ∧ (#‘𝑉) ∈ ℕ0) → (#‘𝑉) ∈ ℕ)
1615ex 449 . . . . . . 7 (1 ≤ (#‘𝑉) → ((#‘𝑉) ∈ ℕ0 → (#‘𝑉) ∈ ℕ))
173, 16syl 17 . . . . . 6 ((𝑉𝑊𝑁𝑉) → ((#‘𝑉) ∈ ℕ0 → (#‘𝑉) ∈ ℕ))
1817impancom 455 . . . . 5 ((𝑉𝑊 ∧ (#‘𝑉) ∈ ℕ0) → (𝑁𝑉 → (#‘𝑉) ∈ ℕ))
1918com12 32 . . . 4 (𝑁𝑉 → ((𝑉𝑊 ∧ (#‘𝑉) ∈ ℕ0) → (#‘𝑉) ∈ ℕ))
20 eleq1 2676 . . . . . 6 ((#‘𝑉) = 𝑌 → ((#‘𝑉) ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℕ0))
2120anbi2d 736 . . . . 5 ((#‘𝑉) = 𝑌 → ((𝑉𝑊 ∧ (#‘𝑉) ∈ ℕ0) ↔ (𝑉𝑊𝑌 ∈ ℕ0)))
22 eleq1 2676 . . . . 5 ((#‘𝑉) = 𝑌 → ((#‘𝑉) ∈ ℕ ↔ 𝑌 ∈ ℕ))
2321, 22imbi12d 333 . . . 4 ((#‘𝑉) = 𝑌 → (((𝑉𝑊 ∧ (#‘𝑉) ∈ ℕ0) → (#‘𝑉) ∈ ℕ) ↔ ((𝑉𝑊𝑌 ∈ ℕ0) → 𝑌 ∈ ℕ)))
2419, 23syl5ib 233 . . 3 ((#‘𝑉) = 𝑌 → (𝑁𝑉 → ((𝑉𝑊𝑌 ∈ ℕ0) → 𝑌 ∈ ℕ)))
2524imp 444 . 2 (((#‘𝑉) = 𝑌𝑁𝑉) → ((𝑉𝑊𝑌 ∈ ℕ0) → 𝑌 ∈ ℕ))
2625impcom 445 1 (((𝑉𝑊𝑌 ∈ ℕ0) ∧ ((#‘𝑉) = 𝑌𝑁𝑉)) → 𝑌 ∈ ℕ)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∅c0 3874   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  0cc0 9815  1c1 9816   < clt 9953   ≤ cle 9954  ℕcn 10897  ℕ0cn0 11169  #chash 12979 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-hash 12980 This theorem is referenced by:  cusgrasize2inds  26005  cusgrsize2inds  40669
 Copyright terms: Public domain W3C validator