Theorem hashnn0n0nn 13041

Description: If a nonnegative integer is the size of a set which contains at least one element, this integer is a positive integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
hashnn0n0nn	⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ ((#‘𝑉) = 𝑌 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉)) → 𝑌 ∈ ℕ)

Proof of Theorem hashnn0n0nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ne0i 3880	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → 𝑉 ≠ ∅)
2		hashge1 13039	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ≠ ∅) → 1 ≤ (#‘𝑉))
3	1, 2	sylan2 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → 1 ≤ (#‘𝑉))
4		simpr 476	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ≤ (#‘𝑉) ∧ (#‘𝑉) ∈ ℕ0) → (#‘𝑉) ∈ ℕ0)
5		0lt1 10429	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < 1
6		0re 9919	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ ℝ
7		1re 9918	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℝ
8	6, 7	ltnlei 10037	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 < 1 ↔ ¬ 1 ≤ 0)
9	5, 8	mpbi 219	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ¬ 1 ≤ 0
10		breq2 4587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((#‘𝑉) = 0 → (1 ≤ (#‘𝑉) ↔ 1 ≤ 0))
11	9, 10	mtbiri 316	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((#‘𝑉) = 0 → ¬ 1 ≤ (#‘𝑉))
12	11	necon2ai 2811	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 ≤ (#‘𝑉) → (#‘𝑉) ≠ 0)
13	12	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ≤ (#‘𝑉) ∧ (#‘𝑉) ∈ ℕ0) → (#‘𝑉) ≠ 0)
14		elnnne0 11183	. . . . . . . . 9 ⊢ ((#‘𝑉) ∈ ℕ ↔ ((#‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑉) ≠ 0))
15	4, 13, 14	sylanbrc 695	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ≤ (#‘𝑉) ∧ (#‘𝑉) ∈ ℕ0) → (#‘𝑉) ∈ ℕ)
16	15	ex 449	. . . . . . 7 ⊢ (1 ≤ (#‘𝑉) → ((#‘𝑉) ∈ ℕ0 → (#‘𝑉) ∈ ℕ))
17	3, 16	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ((#‘𝑉) ∈ ℕ0 → (#‘𝑉) ∈ ℕ))
18	17	impancom 455	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (#‘𝑉) ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ 𝑉 → (#‘𝑉) ∈ ℕ))
19	18	com12 32	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (#‘𝑉) ∈ ℕ0) → (#‘𝑉) ∈ ℕ))
20		eleq1 2676	. . . . . 6 ⊢ ((#‘𝑉) = 𝑌 → ((#‘𝑉) ∈ ℕ0 ↔ 𝑌 ∈ ℕ0))
21	20	anbi2d 736	. . . . 5 ⊢ ((#‘𝑉) = 𝑌 → ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (#‘𝑉) ∈ ℕ0) ↔ (𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0)))
22		eleq1 2676	. . . . 5 ⊢ ((#‘𝑉) = 𝑌 → ((#‘𝑉) ∈ ℕ ↔ 𝑌 ∈ ℕ))
23	21, 22	imbi12d 333	. . . 4 ⊢ ((#‘𝑉) = 𝑌 → (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (#‘𝑉) ∈ ℕ0) → (#‘𝑉) ∈ ℕ) ↔ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) → 𝑌 ∈ ℕ)))
24	19, 23	syl5ib 233	. . 3 ⊢ ((#‘𝑉) = 𝑌 → (𝑁 ∈ 𝑉 → ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) → 𝑌 ∈ ℕ)))
25	24	imp 444	. 2 ⊢ (((#‘𝑉) = 𝑌 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) → 𝑌 ∈ ℕ))
26	25	impcom 445	1 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ ((#‘𝑉) = 𝑌 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉)) → 𝑌 ∈ ℕ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∅c0 3874   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  0cc0 9815  1c1 9816   < clt 9953   ≤ cle 9954  ℕcn 10897  ℕ₀cn0 11169  #chash 12979

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-hash 12980

This theorem is referenced by:  cusgrasize2inds  26005  cusgrsize2inds  40669