Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashf1rnOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashf1rnOLD 13005
 Description: Obsolete version of hashf1rn 13004 as of 4-May-2021. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Jan-2018.) (Revised by Alexander van der Vekens, 4-Feb-2018.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hashf1rnOLD ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐹:𝐴1-1𝐵 → (#‘𝐹) = (#‘ran 𝐹)))

Proof of Theorem hashf1rnOLD
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1f 6014 . . . . . . . 8 (𝐹:𝐴1-1𝐵𝐹:𝐴𝐵)
2 fex 6394 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝐴𝐵𝐴𝑉) → 𝐹 ∈ V)
32ex 449 . . . . . . . 8 (𝐹:𝐴𝐵 → (𝐴𝑉𝐹 ∈ V))
41, 3syl 17 . . . . . . 7 (𝐹:𝐴1-1𝐵 → (𝐴𝑉𝐹 ∈ V))
54com12 32 . . . . . 6 (𝐴𝑉 → (𝐹:𝐴1-1𝐵𝐹 ∈ V))
65adantr 480 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐹:𝐴1-1𝐵𝐹 ∈ V))
76imp 444 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → 𝐹 ∈ V)
8 rnexg 6990 . . . 4 (𝐹 ∈ V → ran 𝐹 ∈ V)
97, 8jccir 560 . . 3 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → (𝐹 ∈ V ∧ ran 𝐹 ∈ V))
10 f1o2ndf1 7172 . . . . 5 (𝐹:𝐴1-1𝐵 → (2nd𝐹):𝐹1-1-onto→ran 𝐹)
11 df-2nd 7060 . . . . . . . . . 10 2nd = (𝑥 ∈ V ↦ ran {𝑥})
1211funmpt2 5841 . . . . . . . . 9 Fun 2nd
132expcom 450 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴𝑉 → (𝐹:𝐴𝐵𝐹 ∈ V))
1413adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐹:𝐴𝐵𝐹 ∈ V))
151, 14syl5com 31 . . . . . . . . . 10 (𝐹:𝐴1-1𝐵 → ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → 𝐹 ∈ V))
1615impcom 445 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → 𝐹 ∈ V)
17 resfunexg 6384 . . . . . . . . 9 ((Fun 2nd𝐹 ∈ V) → (2nd𝐹) ∈ V)
1812, 16, 17sylancr 694 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → (2nd𝐹) ∈ V)
19 f1oeq1 6040 . . . . . . . . . . 11 ((2nd𝐹) = 𝑓 → ((2nd𝐹):𝐹1-1-onto→ran 𝐹𝑓:𝐹1-1-onto→ran 𝐹))
2019biimpd 218 . . . . . . . . . 10 ((2nd𝐹) = 𝑓 → ((2nd𝐹):𝐹1-1-onto→ran 𝐹𝑓:𝐹1-1-onto→ran 𝐹))
2120eqcoms 2618 . . . . . . . . 9 (𝑓 = (2nd𝐹) → ((2nd𝐹):𝐹1-1-onto→ran 𝐹𝑓:𝐹1-1-onto→ran 𝐹))
2221adantl 481 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) ∧ 𝑓 = (2nd𝐹)) → ((2nd𝐹):𝐹1-1-onto→ran 𝐹𝑓:𝐹1-1-onto→ran 𝐹))
2318, 22spcimedv 3265 . . . . . . 7 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → ((2nd𝐹):𝐹1-1-onto→ran 𝐹 → ∃𝑓 𝑓:𝐹1-1-onto→ran 𝐹))
2423ex 449 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐹:𝐴1-1𝐵 → ((2nd𝐹):𝐹1-1-onto→ran 𝐹 → ∃𝑓 𝑓:𝐹1-1-onto→ran 𝐹)))
2524com13 86 . . . . 5 ((2nd𝐹):𝐹1-1-onto→ran 𝐹 → (𝐹:𝐴1-1𝐵 → ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ∃𝑓 𝑓:𝐹1-1-onto→ran 𝐹)))
2610, 25mpcom 37 . . . 4 (𝐹:𝐴1-1𝐵 → ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ∃𝑓 𝑓:𝐹1-1-onto→ran 𝐹))
2726impcom 445 . . 3 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → ∃𝑓 𝑓:𝐹1-1-onto→ran 𝐹)
28 hasheqf1oiOLD 13003 . . 3 ((𝐹 ∈ V ∧ ran 𝐹 ∈ V) → (∃𝑓 𝑓:𝐹1-1-onto→ran 𝐹 → (#‘𝐹) = (#‘ran 𝐹)))
299, 27, 28sylc 63 . 2 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → (#‘𝐹) = (#‘ran 𝐹))
3029ex 449 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐹:𝐴1-1𝐵 → (#‘𝐹) = (#‘ran 𝐹)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475  ∃wex 1695   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173  {csn 4125  ∪ cuni 4372  ran crn 5039   ↾ cres 5040  Fun wfun 5798  ⟶wf 5800  –1-1→wf1 5801  –1-1-onto→wf1o 5803  ‘cfv 5804  2nd c2nd 7058  #chash 12979 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-hash 12980 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator