Theorem halfcld 11154

Description: Closure of half of a number (frequently used special case). (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
2timesd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
halfcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)

Proof of Theorem halfcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2timesd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		halfcl 11134	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1977  (class class class)co 6549  ℂcc 9813   / cdiv 10563  2c2 10947

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-2 10956

This theorem is referenced by:  xp1d2m1eqxm1d2  11163  zeo  11339  zesq  12849  faclbnd2  12940  crre  13702  ef4p  14682  cosf  14694  efi4p  14706  sinhval  14723  addsin  14739  zob  14921  nn0ob  14938  flodddiv4t2lthalf  14978  4sqlem10  15489  lhop1lem  23580  chordthmlem  24359  chordthmlem2  24360  chordthmlem3  24361  chordthmlem4  24362  chordthmlem5  24363  dcubic2  24371  dcubic1  24372  dcubic  24373  mcubic  24374  cubic  24376  dquartlem1  24378  dquart  24380  quart1cl  24381  quart1lem  24382  quart1  24383  quartlem3  24386  quartlem4  24387  quart  24388  lgsquad2lem2  24910  lgsquad2  24911  logdivsum  25022  mulog2sumlem2  25024  mulog2sumlem3  25025  vmalogdivsum2  25027  selberg34r  25060  pntlemr  25091  lt2addrd  28903  sin2h  32569  cos2h  32570  tan2h  32571  itg2addnclem  32631  oddfl  38430  suplesup  38496  coseq0  38747  sinaover2ne0  38751  wallispilem4  38961  wallispi  38963  stirlinglem1  38967  stirlinglem4  38970  stirlinglem7  38973  stirlinglem15  38981  dirker2re  38985  dirkerdenne0  38986  dirkerper  38989  dirkertrigeqlem2  38992  dirkertrigeqlem3  38993  dirkeritg  38995  dirkercncflem1  38996  dirkercncflem2  38997  dirkercncflem4  38999  fourierdlem43  39043  fourierdlem44  39044  fourierdlem56  39055  fourierdlem58  39057  fourierdlem62  39061  fourierdlem68  39067  fourierdlem72  39071  fourierdlem76  39075  fourierdlem79  39078  fourierdlem80  39079  fourierdlem103  39102  fourierdlem104  39103  fourierdlem112  39111  dignn0flhalflem1  42207