Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumspl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumspl 17204
 Description: The primary purpose of the splice construction is to enable local rewrites. Thus, in any monoidal valuation, if a splice does not cause a local change it does not cause a global change. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumspl.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
gsumspl.m (𝜑𝑀 ∈ Mnd)
gsumspl.s (𝜑𝑆 ∈ Word 𝐵)
gsumspl.f (𝜑𝐹 ∈ (0...𝑇))
gsumspl.t (𝜑𝑇 ∈ (0...(#‘𝑆)))
gsumspl.x (𝜑𝑋 ∈ Word 𝐵)
gsumspl.y (𝜑𝑌 ∈ Word 𝐵)
gsumspl.eq (𝜑 → (𝑀 Σg 𝑋) = (𝑀 Σg 𝑌))
Assertion
Ref Expression
gsumspl (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑋⟩)) = (𝑀 Σg (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑌⟩)))

Proof of Theorem gsumspl
StepHypRef Expression
1 gsumspl.eq . . . 4 (𝜑 → (𝑀 Σg 𝑋) = (𝑀 Σg 𝑌))
21oveq2d 6565 . . 3 (𝜑 → ((𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩))(+g𝑀)(𝑀 Σg 𝑋)) = ((𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩))(+g𝑀)(𝑀 Σg 𝑌)))
32oveq1d 6564 . 2 (𝜑 → (((𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩))(+g𝑀)(𝑀 Σg 𝑋))(+g𝑀)(𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩))) = (((𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩))(+g𝑀)(𝑀 Σg 𝑌))(+g𝑀)(𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩))))
4 gsumspl.s . . . . 5 (𝜑𝑆 ∈ Word 𝐵)
5 gsumspl.f . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ (0...𝑇))
6 gsumspl.t . . . . 5 (𝜑𝑇 ∈ (0...(#‘𝑆)))
7 gsumspl.x . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ Word 𝐵)
8 splval 13353 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ (𝐹 ∈ (0...𝑇) ∧ 𝑇 ∈ (0...(#‘𝑆)) ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵)) → (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑋⟩) = (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑋) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩)))
94, 5, 6, 7, 8syl13anc 1320 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑋⟩) = (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑋) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩)))
109oveq2d 6565 . . 3 (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑋⟩)) = (𝑀 Σg (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑋) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩))))
11 gsumspl.m . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ Mnd)
12 swrdcl 13271 . . . . . 6 (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ∈ Word 𝐵)
134, 12syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ∈ Word 𝐵)
14 ccatcl 13212 . . . . 5 (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑋) ∈ Word 𝐵)
1513, 7, 14syl2anc 691 . . . 4 (𝜑 → ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑋) ∈ Word 𝐵)
16 swrdcl 13271 . . . . 5 (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐵)
174, 16syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐵)
18 gsumspl.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑀)
19 eqid 2610 . . . . 5 (+g𝑀) = (+g𝑀)
2018, 19gsumccat 17201 . . . 4 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑋) ∈ Word 𝐵 ∧ (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐵) → (𝑀 Σg (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑋) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩))) = ((𝑀 Σg ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑋))(+g𝑀)(𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩))))
2111, 15, 17, 20syl3anc 1318 . . 3 (𝜑 → (𝑀 Σg (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑋) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩))) = ((𝑀 Σg ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑋))(+g𝑀)(𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩))))
2218, 19gsumccat 17201 . . . . 5 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵) → (𝑀 Σg ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑋)) = ((𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩))(+g𝑀)(𝑀 Σg 𝑋)))
2311, 13, 7, 22syl3anc 1318 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 Σg ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑋)) = ((𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩))(+g𝑀)(𝑀 Σg 𝑋)))
2423oveq1d 6564 . . 3 (𝜑 → ((𝑀 Σg ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑋))(+g𝑀)(𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩))) = (((𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩))(+g𝑀)(𝑀 Σg 𝑋))(+g𝑀)(𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩))))
2510, 21, 243eqtrd 2648 . 2 (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑋⟩)) = (((𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩))(+g𝑀)(𝑀 Σg 𝑋))(+g𝑀)(𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩))))
26 gsumspl.y . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ Word 𝐵)
27 splval 13353 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ (𝐹 ∈ (0...𝑇) ∧ 𝑇 ∈ (0...(#‘𝑆)) ∧ 𝑌 ∈ Word 𝐵)) → (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑌⟩) = (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑌) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩)))
284, 5, 6, 26, 27syl13anc 1320 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑌⟩) = (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑌) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩)))
2928oveq2d 6565 . . 3 (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑌⟩)) = (𝑀 Σg (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑌) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩))))
30 ccatcl 13212 . . . . 5 (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ∈ Word 𝐵𝑌 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑌) ∈ Word 𝐵)
3113, 26, 30syl2anc 691 . . . 4 (𝜑 → ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑌) ∈ Word 𝐵)
3218, 19gsumccat 17201 . . . 4 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑌) ∈ Word 𝐵 ∧ (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐵) → (𝑀 Σg (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑌) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩))) = ((𝑀 Σg ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑌))(+g𝑀)(𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩))))
3311, 31, 17, 32syl3anc 1318 . . 3 (𝜑 → (𝑀 Σg (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑌) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩))) = ((𝑀 Σg ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑌))(+g𝑀)(𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩))))
3418, 19gsumccat 17201 . . . . 5 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ∈ Word 𝐵𝑌 ∈ Word 𝐵) → (𝑀 Σg ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑌)) = ((𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩))(+g𝑀)(𝑀 Σg 𝑌)))
3511, 13, 26, 34syl3anc 1318 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 Σg ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑌)) = ((𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩))(+g𝑀)(𝑀 Σg 𝑌)))
3635oveq1d 6564 . . 3 (𝜑 → ((𝑀 Σg ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑌))(+g𝑀)(𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩))) = (((𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩))(+g𝑀)(𝑀 Σg 𝑌))(+g𝑀)(𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩))))
3729, 33, 363eqtrd 2648 . 2 (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑌⟩)) = (((𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩))(+g𝑀)(𝑀 Σg 𝑌))(+g𝑀)(𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩))))
383, 25, 373eqtr4d 2654 1 (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑋⟩)) = (𝑀 Σg (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑌⟩)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ⟨cop 4131  ⟨cotp 4133  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  ...cfz 12197  #chash 12979  Word cword 13146   ++ cconcat 13148   substr csubstr 13150   splice csplice 13151  Basecbs 15695  +gcplusg 15768   Σg cgsu 15924  Mndcmnd 17117 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-ot 4134  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-hash 12980  df-word 13154  df-concat 13156  df-substr 13158  df-splice 13159  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159 This theorem is referenced by:  psgnunilem2  17738
 Copyright terms: Public domain W3C validator