MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsummptnn0fzfv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsummptnn0fzfv 18207
Description: A final group sum over a function over the nonnegative integers (given as mapping to its function values) is equal to a final group sum over a finite interval of nonnegative integers. (Contributed by AV, 10-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsummptnn0fzfv.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummptnn0fzfv.0 0 = (0g𝐺)
gsummptnn0fzfv.g (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
gsummptnn0fzfv.f (𝜑𝐹 ∈ (𝐵𝑚0))
gsummptnn0fzfv.s (𝜑𝑆 ∈ ℕ0)
gsummptnn0fzfv.u (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 0 ))
Assertion
Ref Expression
gsummptnn0fzfv (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐹𝑘))) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑆) ↦ (𝐹𝑘))))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝐹,𝑥   𝑆,𝑘,𝑥   0 ,𝑘,𝑥   𝜑,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐺(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem gsummptnn0fzfv
StepHypRef Expression
1 gsummptnn0fzfv.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 gsummptnn0fzfv.0 . 2 0 = (0g𝐺)
3 gsummptnn0fzfv.g . 2 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
4 gsummptnn0fzfv.f . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (𝐵𝑚0))
5 elmapi 7765 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐵𝑚0) → 𝐹:ℕ0𝐵)
6 ffvelrn 6265 . . . . 5 ((𝐹:ℕ0𝐵𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) ∈ 𝐵)
76ex 449 . . . 4 (𝐹:ℕ0𝐵 → (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐹𝑘) ∈ 𝐵))
84, 5, 73syl 18 . . 3 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐹𝑘) ∈ 𝐵))
98ralrimiv 2948 . 2 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝐹𝑘) ∈ 𝐵)
10 gsummptnn0fzfv.s . 2 (𝜑𝑆 ∈ ℕ0)
11 gsummptnn0fzfv.u . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 0 ))
12 breq2 4587 . . . . 5 (𝑥 = 𝑘 → (𝑆 < 𝑥𝑆 < 𝑘))
13 fveq2 6103 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑘 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑘))
1413eqeq1d 2612 . . . . 5 (𝑥 = 𝑘 → ((𝐹𝑥) = 0 ↔ (𝐹𝑘) = 0 ))
1512, 14imbi12d 333 . . . 4 (𝑥 = 𝑘 → ((𝑆 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 0 ) ↔ (𝑆 < 𝑘 → (𝐹𝑘) = 0 )))
1615cbvralv 3147 . . 3 (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 0 ) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑘 → (𝐹𝑘) = 0 ))
1711, 16sylib 207 . 2 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑘 → (𝐹𝑘) = 0 ))
181, 2, 3, 9, 10, 17gsummptnn0fzv 18206 1 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐹𝑘))) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑆) ↦ (𝐹𝑘))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1475  wcel 1977  wral 2896   class class class wbr 4583  cmpt 4643  wf 5800  cfv 5804  (class class class)co 6549  𝑚 cmap 7744  0cc0 9815   < clt 9953  0cn0 11169  ...cfz 12197  Basecbs 15695  0gc0g 15923   Σg cgsu 15924  CMndccmn 18016
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-hash 12980  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-cntz 17573  df-cmn 18018
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator