MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsmsymgreqlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsmsymgreqlem1 17673
Description: Lemma 1 for gsmsymgreq 17675. (Contributed by AV, 26-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsmsymgrfix.s 𝑆 = (SymGrp‘𝑁)
gsmsymgrfix.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
gsmsymgreq.z 𝑍 = (SymGrp‘𝑀)
gsmsymgreq.p 𝑃 = (Base‘𝑍)
gsmsymgreq.i 𝐼 = (𝑁𝑀)
Assertion
Ref Expression
gsmsymgreqlem1 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃𝑅𝑃) ∧ (#‘𝑋) = (#‘𝑌))) → ((∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑋)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑌)‘𝑛) ∧ (𝐶𝐽) = (𝑅𝐽)) → ((𝑆 Σg (𝑋 ++ ⟨“𝐶”⟩))‘𝐽) = ((𝑍 Σg (𝑌 ++ ⟨“𝑅”⟩))‘𝐽)))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐼   𝑛,𝑋   𝐶,𝑛   𝑛,𝐽   𝑅,𝑛   𝑆,𝑛   𝑛,𝑌   𝑛,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑛)   𝑃(𝑛)   𝑀(𝑛)   𝑁(𝑛)

Proof of Theorem gsmsymgreqlem1
StepHypRef Expression
1 simpr 476 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ Word 𝐵𝐶𝐵) → 𝐶𝐵)
2 simpr 476 . . . . . . . 8 ((𝑌 ∈ Word 𝑃𝑅𝑃) → 𝑅𝑃)
31, 2anim12i 588 . . . . . . 7 (((𝑋 ∈ Word 𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃𝑅𝑃)) → (𝐶𝐵𝑅𝑃))
433adant3 1074 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ Word 𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃𝑅𝑃) ∧ (#‘𝑋) = (#‘𝑌)) → (𝐶𝐵𝑅𝑃))
54adantl 481 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃𝑅𝑃) ∧ (#‘𝑋) = (#‘𝑌))) → (𝐶𝐵𝑅𝑃))
65adantr 480 . . . 4 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃𝑅𝑃) ∧ (#‘𝑋) = (#‘𝑌))) ∧ (∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑋)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑌)‘𝑛) ∧ (𝐶𝐽) = (𝑅𝐽))) → (𝐶𝐵𝑅𝑃))
7 simpll3 1095 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃𝑅𝑃) ∧ (#‘𝑋) = (#‘𝑌))) ∧ (∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑋)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑌)‘𝑛) ∧ (𝐶𝐽) = (𝑅𝐽))) → 𝐽𝐼)
8 simpr 476 . . . . . 6 ((∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑋)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑌)‘𝑛) ∧ (𝐶𝐽) = (𝑅𝐽)) → (𝐶𝐽) = (𝑅𝐽))
98adantl 481 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃𝑅𝑃) ∧ (#‘𝑋) = (#‘𝑌))) ∧ (∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑋)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑌)‘𝑛) ∧ (𝐶𝐽) = (𝑅𝐽))) → (𝐶𝐽) = (𝑅𝐽))
10 simprl 790 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃𝑅𝑃) ∧ (#‘𝑋) = (#‘𝑌))) ∧ (∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑋)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑌)‘𝑛) ∧ (𝐶𝐽) = (𝑅𝐽))) → ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑋)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑌)‘𝑛))
117, 9, 103jca 1235 . . . 4 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃𝑅𝑃) ∧ (#‘𝑋) = (#‘𝑌))) ∧ (∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑋)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑌)‘𝑛) ∧ (𝐶𝐽) = (𝑅𝐽))) → (𝐽𝐼 ∧ (𝐶𝐽) = (𝑅𝐽) ∧ ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑋)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑌)‘𝑛)))
12 gsmsymgrfix.s . . . . 5 𝑆 = (SymGrp‘𝑁)
13 gsmsymgrfix.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑆)
14 gsmsymgreq.z . . . . 5 𝑍 = (SymGrp‘𝑀)
15 gsmsymgreq.p . . . . 5 𝑃 = (Base‘𝑍)
16 gsmsymgreq.i . . . . 5 𝐼 = (𝑁𝑀)
1712, 13, 14, 15, 16fvcosymgeq 17672 . . . 4 ((𝐶𝐵𝑅𝑃) → ((𝐽𝐼 ∧ (𝐶𝐽) = (𝑅𝐽) ∧ ∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑋)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑌)‘𝑛)) → (((𝑆 Σg 𝑋) ∘ 𝐶)‘𝐽) = (((𝑍 Σg 𝑌) ∘ 𝑅)‘𝐽)))
186, 11, 17sylc 63 . . 3 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃𝑅𝑃) ∧ (#‘𝑋) = (#‘𝑌))) ∧ (∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑋)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑌)‘𝑛) ∧ (𝐶𝐽) = (𝑅𝐽))) → (((𝑆 Σg 𝑋) ∘ 𝐶)‘𝐽) = (((𝑍 Σg 𝑌) ∘ 𝑅)‘𝐽))
19 simpl1 1057 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃𝑅𝑃) ∧ (#‘𝑋) = (#‘𝑌))) → 𝑁 ∈ Fin)
20 simpr1l 1111 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃𝑅𝑃) ∧ (#‘𝑋) = (#‘𝑌))) → 𝑋 ∈ Word 𝐵)
21 simpr1r 1112 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃𝑅𝑃) ∧ (#‘𝑋) = (#‘𝑌))) → 𝐶𝐵)
2219, 20, 213jca 1235 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃𝑅𝑃) ∧ (#‘𝑋) = (#‘𝑌))) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵𝐶𝐵))
2322adantr 480 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃𝑅𝑃) ∧ (#‘𝑋) = (#‘𝑌))) ∧ (∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑋)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑌)‘𝑛) ∧ (𝐶𝐽) = (𝑅𝐽))) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵𝐶𝐵))
2412, 13gsumccatsymgsn 17669 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵𝐶𝐵) → (𝑆 Σg (𝑋 ++ ⟨“𝐶”⟩)) = ((𝑆 Σg 𝑋) ∘ 𝐶))
2523, 24syl 17 . . . 4 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃𝑅𝑃) ∧ (#‘𝑋) = (#‘𝑌))) ∧ (∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑋)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑌)‘𝑛) ∧ (𝐶𝐽) = (𝑅𝐽))) → (𝑆 Σg (𝑋 ++ ⟨“𝐶”⟩)) = ((𝑆 Σg 𝑋) ∘ 𝐶))
2625fveq1d 6105 . . 3 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃𝑅𝑃) ∧ (#‘𝑋) = (#‘𝑌))) ∧ (∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑋)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑌)‘𝑛) ∧ (𝐶𝐽) = (𝑅𝐽))) → ((𝑆 Σg (𝑋 ++ ⟨“𝐶”⟩))‘𝐽) = (((𝑆 Σg 𝑋) ∘ 𝐶)‘𝐽))
27 simpl2 1058 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃𝑅𝑃) ∧ (#‘𝑋) = (#‘𝑌))) → 𝑀 ∈ Fin)
28 simpr2l 1113 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃𝑅𝑃) ∧ (#‘𝑋) = (#‘𝑌))) → 𝑌 ∈ Word 𝑃)
29 simpr2r 1114 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃𝑅𝑃) ∧ (#‘𝑋) = (#‘𝑌))) → 𝑅𝑃)
3027, 28, 293jca 1235 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃𝑅𝑃) ∧ (#‘𝑋) = (#‘𝑌))) → (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑌 ∈ Word 𝑃𝑅𝑃))
3130adantr 480 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃𝑅𝑃) ∧ (#‘𝑋) = (#‘𝑌))) ∧ (∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑋)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑌)‘𝑛) ∧ (𝐶𝐽) = (𝑅𝐽))) → (𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑌 ∈ Word 𝑃𝑅𝑃))
3214, 15gsumccatsymgsn 17669 . . . . 5 ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑌 ∈ Word 𝑃𝑅𝑃) → (𝑍 Σg (𝑌 ++ ⟨“𝑅”⟩)) = ((𝑍 Σg 𝑌) ∘ 𝑅))
3331, 32syl 17 . . . 4 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃𝑅𝑃) ∧ (#‘𝑋) = (#‘𝑌))) ∧ (∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑋)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑌)‘𝑛) ∧ (𝐶𝐽) = (𝑅𝐽))) → (𝑍 Σg (𝑌 ++ ⟨“𝑅”⟩)) = ((𝑍 Σg 𝑌) ∘ 𝑅))
3433fveq1d 6105 . . 3 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃𝑅𝑃) ∧ (#‘𝑋) = (#‘𝑌))) ∧ (∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑋)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑌)‘𝑛) ∧ (𝐶𝐽) = (𝑅𝐽))) → ((𝑍 Σg (𝑌 ++ ⟨“𝑅”⟩))‘𝐽) = (((𝑍 Σg 𝑌) ∘ 𝑅)‘𝐽))
3518, 26, 343eqtr4d 2654 . 2 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃𝑅𝑃) ∧ (#‘𝑋) = (#‘𝑌))) ∧ (∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑋)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑌)‘𝑛) ∧ (𝐶𝐽) = (𝑅𝐽))) → ((𝑆 Σg (𝑋 ++ ⟨“𝐶”⟩))‘𝐽) = ((𝑍 Σg (𝑌 ++ ⟨“𝑅”⟩))‘𝐽))
3635ex 449 1 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝐽𝐼) ∧ ((𝑋 ∈ Word 𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑌 ∈ Word 𝑃𝑅𝑃) ∧ (#‘𝑋) = (#‘𝑌))) → ((∀𝑛𝐼 ((𝑆 Σg 𝑋)‘𝑛) = ((𝑍 Σg 𝑌)‘𝑛) ∧ (𝐶𝐽) = (𝑅𝐽)) → ((𝑆 Σg (𝑋 ++ ⟨“𝐶”⟩))‘𝐽) = ((𝑍 Σg (𝑌 ++ ⟨“𝑅”⟩))‘𝐽)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  wral 2896  cin 3539  ccom 5042  cfv 5804  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  #chash 12979  Word cword 13146   ++ cconcat 13148  ⟨“cs1 13149  Basecbs 15695   Σg cgsu 15924  SymGrpcsymg 17620
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-hash 12980  df-word 13154  df-concat 13156  df-s1 13157  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-tset 15787  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-symg 17621
This theorem is referenced by:  gsmsymgreqlem2  17674
  Copyright terms: Public domain W3C validator