Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grutsk Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem grutsk 9523
 Description: Grothendieck universes are the same as transitive Tarski classes. (The proof in the forward direction requires Foundation.) (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
grutsk Univ = {𝑥 ∈ Tarski ∣ Tr 𝑥}

Proof of Theorem grutsk
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0tsk 9456 . . . . . . . 8 ∅ ∈ Tarski
2 eleq1 2676 . . . . . . . 8 (𝑦 = ∅ → (𝑦 ∈ Tarski ↔ ∅ ∈ Tarski))
31, 2mpbiri 247 . . . . . . 7 (𝑦 = ∅ → 𝑦 ∈ Tarski)
43a1i 11 . . . . . 6 (𝑦 ∈ Univ → (𝑦 = ∅ → 𝑦 ∈ Tarski))
5 vex 3176 . . . . . . . . . . 11 𝑦 ∈ V
6 unir1 8559 . . . . . . . . . . 11 (𝑅1 “ On) = V
75, 6eleqtrri 2687 . . . . . . . . . 10 𝑦 (𝑅1 “ On)
8 eqid 2610 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∩ On) = (𝑦 ∩ On)
98grur1 9521 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ Univ ∧ 𝑦 (𝑅1 “ On)) → 𝑦 = (𝑅1‘(𝑦 ∩ On)))
107, 9mpan2 703 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ Univ → 𝑦 = (𝑅1‘(𝑦 ∩ On)))
1110adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ Univ ∧ 𝑦 ≠ ∅) → 𝑦 = (𝑅1‘(𝑦 ∩ On)))
128gruina 9519 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ Univ ∧ 𝑦 ≠ ∅) → (𝑦 ∩ On) ∈ Inacc)
13 inatsk 9479 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∩ On) ∈ Inacc → (𝑅1‘(𝑦 ∩ On)) ∈ Tarski)
1412, 13syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ Univ ∧ 𝑦 ≠ ∅) → (𝑅1‘(𝑦 ∩ On)) ∈ Tarski)
1511, 14eqeltrd 2688 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ Univ ∧ 𝑦 ≠ ∅) → 𝑦 ∈ Tarski)
1615ex 449 . . . . . 6 (𝑦 ∈ Univ → (𝑦 ≠ ∅ → 𝑦 ∈ Tarski))
174, 16pm2.61dne 2868 . . . . 5 (𝑦 ∈ Univ → 𝑦 ∈ Tarski)
18 grutr 9494 . . . . 5 (𝑦 ∈ Univ → Tr 𝑦)
1917, 18jca 553 . . . 4 (𝑦 ∈ Univ → (𝑦 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑦))
20 grutsk1 9522 . . . 4 ((𝑦 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑦) → 𝑦 ∈ Univ)
2119, 20impbii 198 . . 3 (𝑦 ∈ Univ ↔ (𝑦 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑦))
22 treq 4686 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (Tr 𝑥 ↔ Tr 𝑦))
2322elrab 3331 . . 3 (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ Tarski ∣ Tr 𝑥} ↔ (𝑦 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑦))
2421, 23bitr4i 266 . 2 (𝑦 ∈ Univ ↔ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ Tarski ∣ Tr 𝑥})
2524eqriv 2607 1 Univ = {𝑥 ∈ Tarski ∣ Tr 𝑥}
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  {crab 2900  Vcvv 3173   ∩ cin 3539  ∅c0 3874  ∪ cuni 4372  Tr wtr 4680   “ cima 5041  Oncon0 5640  ‘cfv 5804  𝑅1cr1 8508  Inacccina 9384  Tarskictsk 9449  Univcgru 9491 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-reg 8380  ax-inf2 8421  ax-ac2 9168 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-smo 7330  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-oi 8298  df-har 8346  df-tc 8496  df-r1 8510  df-rank 8511  df-card 8648  df-aleph 8649  df-cf 8650  df-acn 8651  df-ac 8822  df-wina 9385  df-ina 9386  df-tsk 9450  df-gru 9492 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator