Theorem grstructd 25709

Description: If any representation of a graph with vertices 𝑉 and edges 𝐸 has a certain property 𝜓, then any structure with base set 𝑉 and value 𝐸 in the slot for edge functions (which is such a representation of a graph with vertices 𝑉 and edges 𝐸) has this property. (Contributed by AV, 12-Oct-2020.) (Revised by AV, 9-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
gropd.g	⊢ (𝜑 → ∀𝑔(((Vtx‘𝑔) = 𝑉 ∧ (iEdg‘𝑔) = 𝐸) → 𝜓))
gropd.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑈)
gropd.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑊)
grstructd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑋)
grstructd.f	⊢ (𝜑 → Fun (𝑆 ∖ {∅}))
grstructd.d	⊢ (𝜑 → 2 ≤ (#‘dom 𝑆))
grstructd.b	⊢ (𝜑 → (Base‘𝑆) = 𝑉)
grstructd.e	⊢ (𝜑 → (.ef‘𝑆) = 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
grstructd	⊢ (𝜑 → [𝑆 / 𝑔]𝜓)

Distinct variable groups:   𝑔,𝐸   𝑔,𝑉   𝜑,𝑔   𝑆,𝑔

Allowed substitution hints:   𝜓(𝑔)   𝑈(𝑔)   𝑊(𝑔)   𝑋(𝑔)

Proof of Theorem grstructd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grstructd.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑋)
2		gropd.g	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑔(((Vtx‘𝑔) = 𝑉 ∧ (iEdg‘𝑔) = 𝐸) → 𝜓))
3		grstructd.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Fun (𝑆 ∖ {∅}))
4		grstructd.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ (#‘dom 𝑆))
5		funvtxdmge2val 25691	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑋 ∧ Fun (𝑆 ∖ {∅}) ∧ 2 ≤ (#‘dom 𝑆)) → (Vtx‘𝑆) = (Base‘𝑆))
6	1, 3, 4, 5	syl3anc 1318	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑆) = (Base‘𝑆))
7		grstructd.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑆) = 𝑉)
8	6, 7	eqtrd 2644	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑆) = 𝑉)
9		funiedgdmge2val 25692	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑋 ∧ Fun (𝑆 ∖ {∅}) ∧ 2 ≤ (#‘dom 𝑆)) → (iEdg‘𝑆) = (.ef‘𝑆))
10	1, 3, 4, 9	syl3anc 1318	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑆) = (.ef‘𝑆))
11		grstructd.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (.ef‘𝑆) = 𝐸)
12	10, 11	eqtrd 2644	. . 3 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑆) = 𝐸)
13	8, 12	jca 553	. 2 ⊢ (𝜑 → ((Vtx‘𝑆) = 𝑉 ∧ (iEdg‘𝑆) = 𝐸))
14		nfcv 2751	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑔𝑆
15		nfv 1830	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑔((Vtx‘𝑆) = 𝑉 ∧ (iEdg‘𝑆) = 𝐸)
16		nfsbc1v 3422	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑔[𝑆 / 𝑔]𝜓
17	15, 16	nfim 1813	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑔(((Vtx‘𝑆) = 𝑉 ∧ (iEdg‘𝑆) = 𝐸) → [𝑆 / 𝑔]𝜓)
18		fveq2 6103	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = 𝑆 → (Vtx‘𝑔) = (Vtx‘𝑆))
19	18	eqeq1d 2612	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = 𝑆 → ((Vtx‘𝑔) = 𝑉 ↔ (Vtx‘𝑆) = 𝑉))
20		fveq2 6103	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = 𝑆 → (iEdg‘𝑔) = (iEdg‘𝑆))
21	20	eqeq1d 2612	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = 𝑆 → ((iEdg‘𝑔) = 𝐸 ↔ (iEdg‘𝑆) = 𝐸))
22	19, 21	anbi12d 743	. . . 4 ⊢ (𝑔 = 𝑆 → (((Vtx‘𝑔) = 𝑉 ∧ (iEdg‘𝑔) = 𝐸) ↔ ((Vtx‘𝑆) = 𝑉 ∧ (iEdg‘𝑆) = 𝐸)))
23		sbceq1a 3413	. . . 4 ⊢ (𝑔 = 𝑆 → (𝜓 ↔ [𝑆 / 𝑔]𝜓))
24	22, 23	imbi12d 333	. . 3 ⊢ (𝑔 = 𝑆 → ((((Vtx‘𝑔) = 𝑉 ∧ (iEdg‘𝑔) = 𝐸) → 𝜓) ↔ (((Vtx‘𝑆) = 𝑉 ∧ (iEdg‘𝑆) = 𝐸) → [𝑆 / 𝑔]𝜓)))
25	14, 17, 24	spcgf 3261	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑋 → (∀𝑔(((Vtx‘𝑔) = 𝑉 ∧ (iEdg‘𝑔) = 𝐸) → 𝜓) → (((Vtx‘𝑆) = 𝑉 ∧ (iEdg‘𝑆) = 𝐸) → [𝑆 / 𝑔]𝜓)))
26	1, 2, 13, 25	syl3c 64	1 ⊢ (𝜑 → [𝑆 / 𝑔]𝜓)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383  ∀wal 1473   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  [wsbc 3402   ∖ cdif 3537  ∅c0 3874  {csn 4125   class class class wbr 4583  dom cdm 5038  Fun wfun 5798  ‘cfv 5804   ≤ cle 9954  2c2 10947  #chash 12979  Basecbs 15695  .efcedgf 25667  Vtxcvtx 25673  iEdgciedg 25674

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-hash 12980  df-vtx 25675  df-iedg 25676

This theorem is referenced by:  grstructeld  25711