MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem grpss 17263
Description: Show that a structure extending a constructed group (e.g., a ring) is also a group. This allows us to prove that a constructed potential ring 𝑅 is a group before we know that it is also a ring. (Theorem ringgrp 18375, on the other hand, requires that we know in advance that 𝑅 is a ring.) (Contributed by NM, 11-Oct-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
grpss.g 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩}
grpss.r 𝑅 ∈ V
grpss.s 𝐺𝑅
grpss.f Fun 𝑅
Assertion
Ref Expression
grpss (𝐺 ∈ Grp ↔ 𝑅 ∈ Grp)

Proof of Theorem grpss
StepHypRef Expression
1 grpss.r . . . 4 𝑅 ∈ V
2 grpss.f . . . 4 Fun 𝑅
3 grpss.s . . . 4 𝐺𝑅
4 baseid 15747 . . . 4 Base = Slot (Base‘ndx)
5 opex 4859 . . . . . 6 ⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩ ∈ V
65prid1 4241 . . . . 5 ⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩}
7 grpss.g . . . . 5 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩}
86, 7eleqtrri 2687 . . . 4 ⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩ ∈ 𝐺
91, 2, 3, 4, 8strss 15738 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝐺)
10 plusgid 15804 . . . 4 +g = Slot (+g‘ndx)
11 opex 4859 . . . . . 6 ⟨(+g‘ndx), + ⟩ ∈ V
1211prid2 4242 . . . . 5 ⟨(+g‘ndx), + ⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩}
1312, 7eleqtrri 2687 . . . 4 ⟨(+g‘ndx), + ⟩ ∈ 𝐺
141, 2, 3, 10, 13strss 15738 . . 3 (+g𝑅) = (+g𝐺)
159, 14grpprop 17261 . 2 (𝑅 ∈ Grp ↔ 𝐺 ∈ Grp)
1615bicomi 213 1 (𝐺 ∈ Grp ↔ 𝑅 ∈ Grp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 195   = wceq 1475  wcel 1977  Vcvv 3173  wss 3540  {cpr 4127  cop 4131  Fun wfun 5798  cfv 5804  ndxcnx 15692  Basecbs 15695  +gcplusg 15768  Grpcgrp 17245
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-nn 10898  df-2 10956  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-plusg 15781  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator