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Theorem grpoideu 26747
Description: The left identity element of a group is unique. Lemma 2.2.1(a) of [Herstein] p. 55. (Contributed by NM, 14-Oct-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
grpfo.1 𝑋 = ran 𝐺
Assertion
Ref Expression
grpoideu (𝐺 ∈ GrpOp → ∃!𝑢𝑋𝑥𝑋 (𝑢𝐺𝑥) = 𝑥)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑢,𝐺   𝑢,𝑋,𝑥

Proof of Theorem grpoideu
Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 grpfo.1 . . . 4 𝑋 = ran 𝐺
21grpoidinv 26746 . . 3 (𝐺 ∈ GrpOp → ∃𝑢𝑋𝑧𝑋 (((𝑢𝐺𝑧) = 𝑧 ∧ (𝑧𝐺𝑢) = 𝑧) ∧ ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢)))
3 simpll 786 . . . . . . . . 9 ((((𝑢𝐺𝑧) = 𝑧 ∧ (𝑧𝐺𝑢) = 𝑧) ∧ ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢)) → (𝑢𝐺𝑧) = 𝑧)
43ralimi 2936 . . . . . . . 8 (∀𝑧𝑋 (((𝑢𝐺𝑧) = 𝑧 ∧ (𝑧𝐺𝑢) = 𝑧) ∧ ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢)) → ∀𝑧𝑋 (𝑢𝐺𝑧) = 𝑧)
5 oveq2 6557 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑥 → (𝑢𝐺𝑧) = (𝑢𝐺𝑥))
6 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑥𝑧 = 𝑥)
75, 6eqeq12d 2625 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑥 → ((𝑢𝐺𝑧) = 𝑧 ↔ (𝑢𝐺𝑥) = 𝑥))
87cbvralv 3147 . . . . . . . 8 (∀𝑧𝑋 (𝑢𝐺𝑧) = 𝑧 ↔ ∀𝑥𝑋 (𝑢𝐺𝑥) = 𝑥)
94, 8sylib 207 . . . . . . 7 (∀𝑧𝑋 (((𝑢𝐺𝑧) = 𝑧 ∧ (𝑧𝐺𝑢) = 𝑧) ∧ ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢)) → ∀𝑥𝑋 (𝑢𝐺𝑥) = 𝑥)
109adantl 481 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝑢𝑋) ∧ ∀𝑧𝑋 (((𝑢𝐺𝑧) = 𝑧 ∧ (𝑧𝐺𝑢) = 𝑧) ∧ ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢))) → ∀𝑥𝑋 (𝑢𝐺𝑥) = 𝑥)
119ad2antlr 759 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝑢𝑋) ∧ ∀𝑧𝑋 (((𝑢𝐺𝑧) = 𝑧 ∧ (𝑧𝐺𝑢) = 𝑧) ∧ ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢))) ∧ 𝑤𝑋) → ∀𝑥𝑋 (𝑢𝐺𝑥) = 𝑥)
12 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑢𝐺𝑧) = 𝑧 ∧ (𝑧𝐺𝑢) = 𝑧) ∧ ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢)) → ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢))
1312ralimi 2936 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑧𝑋 (((𝑢𝐺𝑧) = 𝑧 ∧ (𝑧𝐺𝑢) = 𝑧) ∧ ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢)) → ∀𝑧𝑋𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢))
14 oveq2 6557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 = 𝑤 → (𝑦𝐺𝑧) = (𝑦𝐺𝑤))
1514eqeq1d 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 = 𝑤 → ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ↔ (𝑦𝐺𝑤) = 𝑢))
16 oveq1 6556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 = 𝑤 → (𝑧𝐺𝑦) = (𝑤𝐺𝑦))
1716eqeq1d 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 = 𝑤 → ((𝑧𝐺𝑦) = 𝑢 ↔ (𝑤𝐺𝑦) = 𝑢))
1815, 17anbi12d 743 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 = 𝑤 → (((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢) ↔ ((𝑦𝐺𝑤) = 𝑢 ∧ (𝑤𝐺𝑦) = 𝑢)))
1918rexbidv 3034 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢) ↔ ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑤) = 𝑢 ∧ (𝑤𝐺𝑦) = 𝑢)))
2019rspcva 3280 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑤𝑋 ∧ ∀𝑧𝑋𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢)) → ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑤) = 𝑢 ∧ (𝑤𝐺𝑦) = 𝑢))
2120adantll 746 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝑤𝑋) ∧ ∀𝑧𝑋𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢)) → ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑤) = 𝑢 ∧ (𝑤𝐺𝑦) = 𝑢))
2213, 21sylan2 490 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝑤𝑋) ∧ ∀𝑧𝑋 (((𝑢𝐺𝑧) = 𝑧 ∧ (𝑧𝐺𝑢) = 𝑧) ∧ ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢))) → ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑤) = 𝑢 ∧ (𝑤𝐺𝑦) = 𝑢))
231grpoidinvlem4 26745 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝑤𝑋) ∧ ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑤) = 𝑢 ∧ (𝑤𝐺𝑦) = 𝑢)) → (𝑤𝐺𝑢) = (𝑢𝐺𝑤))
2422, 23syldan 486 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝑤𝑋) ∧ ∀𝑧𝑋 (((𝑢𝐺𝑧) = 𝑧 ∧ (𝑧𝐺𝑢) = 𝑧) ∧ ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢))) → (𝑤𝐺𝑢) = (𝑢𝐺𝑤))
2524an32s 842 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ GrpOp ∧ ∀𝑧𝑋 (((𝑢𝐺𝑧) = 𝑧 ∧ (𝑧𝐺𝑢) = 𝑧) ∧ ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢))) ∧ 𝑤𝑋) → (𝑤𝐺𝑢) = (𝑢𝐺𝑤))
2625adantllr 751 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝑢𝑋) ∧ ∀𝑧𝑋 (((𝑢𝐺𝑧) = 𝑧 ∧ (𝑧𝐺𝑢) = 𝑧) ∧ ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢))) ∧ 𝑤𝑋) → (𝑤𝐺𝑢) = (𝑢𝐺𝑤))
2726adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝑢𝑋) ∧ ∀𝑧𝑋 (((𝑢𝐺𝑧) = 𝑧 ∧ (𝑧𝐺𝑢) = 𝑧) ∧ ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢))) ∧ 𝑤𝑋) ∧ (∀𝑥𝑋 (𝑢𝐺𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑤𝐺𝑥) = 𝑥)) → (𝑤𝐺𝑢) = (𝑢𝐺𝑤))
28 oveq2 6557 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑢 → (𝑤𝐺𝑥) = (𝑤𝐺𝑢))
29 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑢𝑥 = 𝑢)
3028, 29eqeq12d 2625 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑢 → ((𝑤𝐺𝑥) = 𝑥 ↔ (𝑤𝐺𝑢) = 𝑢))
3130rspcva 3280 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑢𝑋 ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑤𝐺𝑥) = 𝑥) → (𝑤𝐺𝑢) = 𝑢)
3231adantll 746 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝑢𝑋) ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑤𝐺𝑥) = 𝑥) → (𝑤𝐺𝑢) = 𝑢)
3332ad2ant2rl 781 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝑢𝑋) ∧ 𝑤𝑋) ∧ (∀𝑥𝑋 (𝑢𝐺𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑤𝐺𝑥) = 𝑥)) → (𝑤𝐺𝑢) = 𝑢)
3433adantllr 751 . . . . . . . . . 10 (((((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝑢𝑋) ∧ ∀𝑧𝑋 (((𝑢𝐺𝑧) = 𝑧 ∧ (𝑧𝐺𝑢) = 𝑧) ∧ ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢))) ∧ 𝑤𝑋) ∧ (∀𝑥𝑋 (𝑢𝐺𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑤𝐺𝑥) = 𝑥)) → (𝑤𝐺𝑢) = 𝑢)
35 oveq2 6557 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑤 → (𝑢𝐺𝑥) = (𝑢𝐺𝑤))
36 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑤𝑥 = 𝑤)
3735, 36eqeq12d 2625 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑤 → ((𝑢𝐺𝑥) = 𝑥 ↔ (𝑢𝐺𝑤) = 𝑤))
3837rspcva 3280 . . . . . . . . . . 11 ((𝑤𝑋 ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑢𝐺𝑥) = 𝑥) → (𝑢𝐺𝑤) = 𝑤)
3938ad2ant2lr 780 . . . . . . . . . 10 (((((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝑢𝑋) ∧ ∀𝑧𝑋 (((𝑢𝐺𝑧) = 𝑧 ∧ (𝑧𝐺𝑢) = 𝑧) ∧ ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢))) ∧ 𝑤𝑋) ∧ (∀𝑥𝑋 (𝑢𝐺𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑤𝐺𝑥) = 𝑥)) → (𝑢𝐺𝑤) = 𝑤)
4027, 34, 393eqtr3d 2652 . . . . . . . . 9 (((((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝑢𝑋) ∧ ∀𝑧𝑋 (((𝑢𝐺𝑧) = 𝑧 ∧ (𝑧𝐺𝑢) = 𝑧) ∧ ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢))) ∧ 𝑤𝑋) ∧ (∀𝑥𝑋 (𝑢𝐺𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑤𝐺𝑥) = 𝑥)) → 𝑢 = 𝑤)
4140ex 449 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝑢𝑋) ∧ ∀𝑧𝑋 (((𝑢𝐺𝑧) = 𝑧 ∧ (𝑧𝐺𝑢) = 𝑧) ∧ ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢))) ∧ 𝑤𝑋) → ((∀𝑥𝑋 (𝑢𝐺𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑤𝐺𝑥) = 𝑥) → 𝑢 = 𝑤))
4211, 41mpand 707 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝑢𝑋) ∧ ∀𝑧𝑋 (((𝑢𝐺𝑧) = 𝑧 ∧ (𝑧𝐺𝑢) = 𝑧) ∧ ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢))) ∧ 𝑤𝑋) → (∀𝑥𝑋 (𝑤𝐺𝑥) = 𝑥𝑢 = 𝑤))
4342ralrimiva 2949 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝑢𝑋) ∧ ∀𝑧𝑋 (((𝑢𝐺𝑧) = 𝑧 ∧ (𝑧𝐺𝑢) = 𝑧) ∧ ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢))) → ∀𝑤𝑋 (∀𝑥𝑋 (𝑤𝐺𝑥) = 𝑥𝑢 = 𝑤))
4410, 43jca 553 . . . . 5 (((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝑢𝑋) ∧ ∀𝑧𝑋 (((𝑢𝐺𝑧) = 𝑧 ∧ (𝑧𝐺𝑢) = 𝑧) ∧ ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢))) → (∀𝑥𝑋 (𝑢𝐺𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑤𝑋 (∀𝑥𝑋 (𝑤𝐺𝑥) = 𝑥𝑢 = 𝑤)))
4544ex 449 . . . 4 ((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝑢𝑋) → (∀𝑧𝑋 (((𝑢𝐺𝑧) = 𝑧 ∧ (𝑧𝐺𝑢) = 𝑧) ∧ ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢)) → (∀𝑥𝑋 (𝑢𝐺𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑤𝑋 (∀𝑥𝑋 (𝑤𝐺𝑥) = 𝑥𝑢 = 𝑤))))
4645reximdva 3000 . . 3 (𝐺 ∈ GrpOp → (∃𝑢𝑋𝑧𝑋 (((𝑢𝐺𝑧) = 𝑧 ∧ (𝑧𝐺𝑢) = 𝑧) ∧ ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝑧) = 𝑢 ∧ (𝑧𝐺𝑦) = 𝑢)) → ∃𝑢𝑋 (∀𝑥𝑋 (𝑢𝐺𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑤𝑋 (∀𝑥𝑋 (𝑤𝐺𝑥) = 𝑥𝑢 = 𝑤))))
472, 46mpd 15 . 2 (𝐺 ∈ GrpOp → ∃𝑢𝑋 (∀𝑥𝑋 (𝑢𝐺𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑤𝑋 (∀𝑥𝑋 (𝑤𝐺𝑥) = 𝑥𝑢 = 𝑤)))
48 oveq1 6556 . . . . 5 (𝑢 = 𝑤 → (𝑢𝐺𝑥) = (𝑤𝐺𝑥))
4948eqeq1d 2612 . . . 4 (𝑢 = 𝑤 → ((𝑢𝐺𝑥) = 𝑥 ↔ (𝑤𝐺𝑥) = 𝑥))
5049ralbidv 2969 . . 3 (𝑢 = 𝑤 → (∀𝑥𝑋 (𝑢𝐺𝑥) = 𝑥 ↔ ∀𝑥𝑋 (𝑤𝐺𝑥) = 𝑥))
5150reu8 3369 . 2 (∃!𝑢𝑋𝑥𝑋 (𝑢𝐺𝑥) = 𝑥 ↔ ∃𝑢𝑋 (∀𝑥𝑋 (𝑢𝐺𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑤𝑋 (∀𝑥𝑋 (𝑤𝐺𝑥) = 𝑥𝑢 = 𝑤)))
5247, 51sylibr 223 1 (𝐺 ∈ GrpOp → ∃!𝑢𝑋𝑥𝑋 (𝑢𝐺𝑥) = 𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  wral 2896  wrex 2897  ∃!wreu 2898  ran crn 5039  (class class class)co 6549  GrpOpcgr 26727
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pr 4833  ax-un 6847
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-fo 5810  df-fv 5812  df-ov 6552  df-grpo 26731
This theorem is referenced by:  grpoidval  26751  grpoidcl  26752  grpoidinv2  26753  cnidOLD  26821  hilid  27402
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