Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grp1inv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem grp1inv 17346
 Description: The inverse function of the trivial group. (Contributed by FL, 21-Jun-2010.) (Revised by AV, 26-Aug-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
grp1.m 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩}
Assertion
Ref Expression
grp1inv (𝐼𝑉 → (invg𝑀) = ( I ↾ {𝐼}))

Proof of Theorem grp1inv
StepHypRef Expression
1 grp1.m . . . 4 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩}
21grp1 17345 . . 3 (𝐼𝑉𝑀 ∈ Grp)
3 snex 4835 . . . . 5 {𝐼} ∈ V
41grpbase 15816 . . . . 5 ({𝐼} ∈ V → {𝐼} = (Base‘𝑀))
53, 4ax-mp 5 . . . 4 {𝐼} = (Base‘𝑀)
6 eqid 2610 . . . 4 (invg𝑀) = (invg𝑀)
75, 6grpinvf 17289 . . 3 (𝑀 ∈ Grp → (invg𝑀):{𝐼}⟶{𝐼})
82, 7syl 17 . 2 (𝐼𝑉 → (invg𝑀):{𝐼}⟶{𝐼})
9 fsng 6310 . . . 4 ((𝐼𝑉𝐼𝑉) → ((invg𝑀):{𝐼}⟶{𝐼} ↔ (invg𝑀) = {⟨𝐼, 𝐼⟩}))
109anidms 675 . . 3 (𝐼𝑉 → ((invg𝑀):{𝐼}⟶{𝐼} ↔ (invg𝑀) = {⟨𝐼, 𝐼⟩}))
11 simpr 476 . . . . 5 ((𝐼𝑉 ∧ (invg𝑀) = {⟨𝐼, 𝐼⟩}) → (invg𝑀) = {⟨𝐼, 𝐼⟩})
12 restidsing 5377 . . . . . . 7 ( I ↾ {𝐼}) = ({𝐼} × {𝐼})
13 xpsng 6312 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝐼𝑉) → ({𝐼} × {𝐼}) = {⟨𝐼, 𝐼⟩})
1413anidms 675 . . . . . . 7 (𝐼𝑉 → ({𝐼} × {𝐼}) = {⟨𝐼, 𝐼⟩})
1512, 14syl5req 2657 . . . . . 6 (𝐼𝑉 → {⟨𝐼, 𝐼⟩} = ( I ↾ {𝐼}))
1615adantr 480 . . . . 5 ((𝐼𝑉 ∧ (invg𝑀) = {⟨𝐼, 𝐼⟩}) → {⟨𝐼, 𝐼⟩} = ( I ↾ {𝐼}))
1711, 16eqtrd 2644 . . . 4 ((𝐼𝑉 ∧ (invg𝑀) = {⟨𝐼, 𝐼⟩}) → (invg𝑀) = ( I ↾ {𝐼}))
1817ex 449 . . 3 (𝐼𝑉 → ((invg𝑀) = {⟨𝐼, 𝐼⟩} → (invg𝑀) = ( I ↾ {𝐼})))
1910, 18sylbid 229 . 2 (𝐼𝑉 → ((invg𝑀):{𝐼}⟶{𝐼} → (invg𝑀) = ( I ↾ {𝐼})))
208, 19mpd 15 1 (𝐼𝑉 → (invg𝑀) = ( I ↾ {𝐼}))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173  {csn 4125  {cpr 4127  ⟨cop 4131   I cid 4948   × cxp 5036   ↾ cres 5040  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  ndxcnx 15692  Basecbs 15695  +gcplusg 15768  Grpcgrp 17245  invgcminusg 17246 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-plusg 15781  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator