Theorem gicrcl 17538

Description: Isomorphism implies the right side is a group. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
gicrcl	⊢ (𝑅 ≃𝑔 𝑆 → 𝑆 ∈ Grp)

Proof of Theorem gicrcl

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brgic 17534	. . 3 ⊢ (𝑅 ≃𝑔 𝑆 ↔ (𝑅 GrpIso 𝑆) ≠ ∅)
2		n0 3890	. . 3 ⊢ ((𝑅 GrpIso 𝑆) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆))
3	1, 2	bitri 263	. 2 ⊢ (𝑅 ≃𝑔 𝑆 ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆))
4		gimghm 17529	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) → 𝑓 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
5		ghmgrp2 17486	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → 𝑆 ∈ Grp)
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) → 𝑆 ∈ Grp)
7	6	exlimiv 1845	. 2 ⊢ (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) → 𝑆 ∈ Grp)
8	3, 7	sylbi 206	1 ⊢ (𝑅 ≃𝑔 𝑆 → 𝑆 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4  ∃wex 1695   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∅c0 3874   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  Grpcgrp 17245   GrpHom cghm 17480   GrpIso cgim 17522   ≃_𝑔 cgic 17523

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-1o 7447  df-ghm 17481  df-gim 17524  df-gic 17525

This theorem is referenced by: (None)