Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gexnnod Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gexnnod 17826
 Description: Every group element has finite order if the exponent is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
gexod.1 𝑋 = (Base‘𝐺)
gexod.2 𝐸 = (gEx‘𝐺)
gexod.3 𝑂 = (od‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
gexnnod ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → (𝑂𝐴) ∈ ℕ)

Proof of Theorem gexnnod
StepHypRef Expression
1 nnne0 10930 . . . . 5 (𝐸 ∈ ℕ → 𝐸 ≠ 0)
213ad2ant2 1076 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → 𝐸 ≠ 0)
3 nnz 11276 . . . . . . 7 (𝐸 ∈ ℕ → 𝐸 ∈ ℤ)
433ad2ant2 1076 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → 𝐸 ∈ ℤ)
5 0dvds 14840 . . . . . 6 (𝐸 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝐸𝐸 = 0))
64, 5syl 17 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → (0 ∥ 𝐸𝐸 = 0))
76necon3bbid 2819 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → (¬ 0 ∥ 𝐸𝐸 ≠ 0))
82, 7mpbird 246 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → ¬ 0 ∥ 𝐸)
9 gexod.1 . . . . . 6 𝑋 = (Base‘𝐺)
10 gexod.2 . . . . . 6 𝐸 = (gEx‘𝐺)
11 gexod.3 . . . . . 6 𝑂 = (od‘𝐺)
129, 10, 11gexod 17824 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → (𝑂𝐴) ∥ 𝐸)
13123adant2 1073 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → (𝑂𝐴) ∥ 𝐸)
14 breq1 4586 . . . 4 ((𝑂𝐴) = 0 → ((𝑂𝐴) ∥ 𝐸 ↔ 0 ∥ 𝐸))
1513, 14syl5ibcom 234 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑂𝐴) = 0 → 0 ∥ 𝐸))
168, 15mtod 188 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → ¬ (𝑂𝐴) = 0)
179, 11odcl 17778 . . . . 5 (𝐴𝑋 → (𝑂𝐴) ∈ ℕ0)
18173ad2ant3 1077 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → (𝑂𝐴) ∈ ℕ0)
19 elnn0 11171 . . . 4 ((𝑂𝐴) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑂𝐴) ∈ ℕ ∨ (𝑂𝐴) = 0))
2018, 19sylib 207 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑂𝐴) ∈ ℕ ∨ (𝑂𝐴) = 0))
2120ord 391 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → (¬ (𝑂𝐴) ∈ ℕ → (𝑂𝐴) = 0))
2216, 21mt3d 139 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → (𝑂𝐴) ∈ ℕ)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∨ wo 382   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  0cc0 9815  ℕcn 10897  ℕ0cn0 11169  ℤcz 11254   ∥ cdvds 14821  Basecbs 15695  Grpcgrp 17245  odcod 17767  gExcgex 17768 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-dvds 14822  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-mulg 17364  df-od 17771  df-gex 17772 This theorem is referenced by:  gexexlem  18078
 Copyright terms: Public domain W3C validator