MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gexdvdsi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gexdvdsi 17821
Description: Any group element is annihilated by any multiple of the group exponent. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
gexcl.1 𝑋 = (Base‘𝐺)
gexcl.2 𝐸 = (gEx‘𝐺)
gexid.3 · = (.g𝐺)
gexid.4 0 = (0g𝐺)
Assertion
Ref Expression
gexdvdsi ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝐸𝑁) → (𝑁 · 𝐴) = 0 )

Proof of Theorem gexdvdsi
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp3 1056 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝐸𝑁) → 𝐸𝑁)
2 dvdszrcl 14826 . . . . 5 (𝐸𝑁 → (𝐸 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
3 divides 14823 . . . . 5 ((𝐸 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐸𝑁 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 · 𝐸) = 𝑁))
42, 3biadan2 672 . . . 4 (𝐸𝑁 ↔ ((𝐸 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 · 𝐸) = 𝑁))
51, 4sylib 207 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝐸𝑁) → ((𝐸 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 · 𝐸) = 𝑁))
65simprd 478 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝐸𝑁) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 · 𝐸) = 𝑁)
7 simpl1 1057 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝐸𝑁) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝐺 ∈ Grp)
8 simpr 476 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝐸𝑁) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℤ)
95simplld 787 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝐸𝑁) → 𝐸 ∈ ℤ)
109adantr 480 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝐸𝑁) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝐸 ∈ ℤ)
11 simpl2 1058 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝐸𝑁) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝐴𝑋)
12 gexcl.1 . . . . . . 7 𝑋 = (Base‘𝐺)
13 gexid.3 . . . . . . 7 · = (.g𝐺)
1412, 13mulgass 17402 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑋)) → ((𝑥 · 𝐸) · 𝐴) = (𝑥 · (𝐸 · 𝐴)))
157, 8, 10, 11, 14syl13anc 1320 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝐸𝑁) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 · 𝐸) · 𝐴) = (𝑥 · (𝐸 · 𝐴)))
16 gexcl.2 . . . . . . . 8 𝐸 = (gEx‘𝐺)
17 gexid.4 . . . . . . . 8 0 = (0g𝐺)
1812, 16, 13, 17gexid 17819 . . . . . . 7 (𝐴𝑋 → (𝐸 · 𝐴) = 0 )
1911, 18syl 17 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝐸𝑁) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝐸 · 𝐴) = 0 )
2019oveq2d 6565 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝐸𝑁) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 · (𝐸 · 𝐴)) = (𝑥 · 0 ))
2112, 13, 17mulgz 17391 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 · 0 ) = 0 )
22213ad2antl1 1216 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝐸𝑁) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 · 0 ) = 0 )
2315, 20, 223eqtrd 2648 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝐸𝑁) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 · 𝐸) · 𝐴) = 0 )
24 oveq1 6556 . . . . 5 ((𝑥 · 𝐸) = 𝑁 → ((𝑥 · 𝐸) · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴))
2524eqeq1d 2612 . . . 4 ((𝑥 · 𝐸) = 𝑁 → (((𝑥 · 𝐸) · 𝐴) = 0 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
2623, 25syl5ibcom 234 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝐸𝑁) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 · 𝐸) = 𝑁 → (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
2726rexlimdva 3013 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝐸𝑁) → (∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 · 𝐸) = 𝑁 → (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
286, 27mpd 15 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝐸𝑁) → (𝑁 · 𝐴) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  wrex 2897   class class class wbr 4583  cfv 5804  (class class class)co 6549   · cmul 9820  cz 11254  cdvds 14821  Basecbs 15695  0gc0g 15923  Grpcgrp 17245  .gcmg 17363  gExcgex 17768
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-seq 12664  df-dvds 14822  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-mulg 17364  df-gex 17772
This theorem is referenced by:  gexdvds  17822  gex2abl  18077
  Copyright terms: Public domain W3C validator