Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  geoihalfsum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem geoihalfsum 14453
 Description: Prove that the infinite geometric series of 1/2, 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... = 1. Uses geoisum1 14449. This is a representation of .111... in binary with an infinite number of 1's. Theorem 0.999... 14451 proves a similar claim for .999... in base 10. (Contributed by David A. Wheeler, 4-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
geoihalfsum Σ𝑘 ∈ ℕ (1 / (2↑𝑘)) = 1

Proof of Theorem geoihalfsum
StepHypRef Expression
1 2cn 10968 . . . . 5 2 ∈ ℂ
21a1i 11 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
3 2ne0 10990 . . . . 5 2 ≠ 0
43a1i 11 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ → 2 ≠ 0)
5 nnz 11276 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
62, 4, 5exprecd 12878 . . 3 (𝑘 ∈ ℕ → ((1 / 2)↑𝑘) = (1 / (2↑𝑘)))
76sumeq2i 14277 . 2 Σ𝑘 ∈ ℕ ((1 / 2)↑𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ (1 / (2↑𝑘))
8 halfcn 11124 . . . 4 (1 / 2) ∈ ℂ
9 halfre 11123 . . . . . 6 (1 / 2) ∈ ℝ
10 0le1 10430 . . . . . . 7 0 ≤ 1
11 1re 9918 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
12 2re 10967 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
13 2pos 10989 . . . . . . . 8 0 < 2
14 ge0div 10769 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2) → (0 ≤ 1 ↔ 0 ≤ (1 / 2)))
1511, 12, 13, 14mp3an 1416 . . . . . . 7 (0 ≤ 1 ↔ 0 ≤ (1 / 2))
1610, 15mpbi 219 . . . . . 6 0 ≤ (1 / 2)
17 absid 13884 . . . . . 6 (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 2)) → (abs‘(1 / 2)) = (1 / 2))
189, 16, 17mp2an 704 . . . . 5 (abs‘(1 / 2)) = (1 / 2)
19 halflt1 11127 . . . . 5 (1 / 2) < 1
2018, 19eqbrtri 4604 . . . 4 (abs‘(1 / 2)) < 1
21 geoisum1 14449 . . . 4 (((1 / 2) ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 / 2)) < 1) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((1 / 2)↑𝑘) = ((1 / 2) / (1 − (1 / 2))))
228, 20, 21mp2an 704 . . 3 Σ𝑘 ∈ ℕ ((1 / 2)↑𝑘) = ((1 / 2) / (1 − (1 / 2)))
23 1mhlfehlf 11128 . . . 4 (1 − (1 / 2)) = (1 / 2)
2423oveq2i 6560 . . 3 ((1 / 2) / (1 − (1 / 2))) = ((1 / 2) / (1 / 2))
25 ax-1cn 9873 . . . . 5 1 ∈ ℂ
26 ax-1ne0 9884 . . . . 5 1 ≠ 0
2725, 1, 26, 3divne0i 10652 . . . 4 (1 / 2) ≠ 0
288, 27dividi 10637 . . 3 ((1 / 2) / (1 / 2)) = 1
2922, 24, 283eqtri 2636 . 2 Σ𝑘 ∈ ℕ ((1 / 2)↑𝑘) = 1
307, 29eqtr3i 2634 1 Σ𝑘 ∈ ℕ (1 / (2↑𝑘)) = 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 195   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145   / cdiv 10563  ℕcn 10897  2c2 10947  ↑cexp 12722  abscabs 13822  Σcsu 14264 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265 This theorem is referenced by:  omssubadd  29689
 Copyright terms: Public domain W3C validator