Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  genpn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem genpn0 9704
 Description: The result of an operation on positive reals is not empty. (Contributed by NM, 28-Feb-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
genp.1 𝐹 = (𝑤P, 𝑣P ↦ {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑤𝑧𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧)})
genp.2 ((𝑦Q𝑧Q) → (𝑦𝐺𝑧) ∈ Q)
Assertion
Ref Expression
genpn0 ((𝐴P𝐵P) → ∅ ⊊ (𝐴𝐹𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝑤,𝑣,𝐺,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑤,𝑣)   𝐵(𝑤,𝑣)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣)

Proof of Theorem genpn0
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prn0 9690 . . . 4 (𝐴P𝐴 ≠ ∅)
2 n0 3890 . . . 4 (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓𝐴)
31, 2sylib 207 . . 3 (𝐴P → ∃𝑓 𝑓𝐴)
4 prn0 9690 . . . 4 (𝐵P𝐵 ≠ ∅)
5 n0 3890 . . . 4 (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑔 𝑔𝐵)
64, 5sylib 207 . . 3 (𝐵P → ∃𝑔 𝑔𝐵)
73, 6anim12i 588 . 2 ((𝐴P𝐵P) → (∃𝑓 𝑓𝐴 ∧ ∃𝑔 𝑔𝐵))
8 genp.1 . . . . . . . . 9 𝐹 = (𝑤P, 𝑣P ↦ {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑤𝑧𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧)})
9 genp.2 . . . . . . . . 9 ((𝑦Q𝑧Q) → (𝑦𝐺𝑧) ∈ Q)
108, 9genpprecl 9702 . . . . . . . 8 ((𝐴P𝐵P) → ((𝑓𝐴𝑔𝐵) → (𝑓𝐺𝑔) ∈ (𝐴𝐹𝐵)))
11 ne0i 3880 . . . . . . . . 9 ((𝑓𝐺𝑔) ∈ (𝐴𝐹𝐵) → (𝐴𝐹𝐵) ≠ ∅)
12 0pss 3965 . . . . . . . . 9 (∅ ⊊ (𝐴𝐹𝐵) ↔ (𝐴𝐹𝐵) ≠ ∅)
1311, 12sylibr 223 . . . . . . . 8 ((𝑓𝐺𝑔) ∈ (𝐴𝐹𝐵) → ∅ ⊊ (𝐴𝐹𝐵))
1410, 13syl6 34 . . . . . . 7 ((𝐴P𝐵P) → ((𝑓𝐴𝑔𝐵) → ∅ ⊊ (𝐴𝐹𝐵)))
1514expcomd 453 . . . . . 6 ((𝐴P𝐵P) → (𝑔𝐵 → (𝑓𝐴 → ∅ ⊊ (𝐴𝐹𝐵))))
1615exlimdv 1848 . . . . 5 ((𝐴P𝐵P) → (∃𝑔 𝑔𝐵 → (𝑓𝐴 → ∅ ⊊ (𝐴𝐹𝐵))))
1716com23 84 . . . 4 ((𝐴P𝐵P) → (𝑓𝐴 → (∃𝑔 𝑔𝐵 → ∅ ⊊ (𝐴𝐹𝐵))))
1817exlimdv 1848 . . 3 ((𝐴P𝐵P) → (∃𝑓 𝑓𝐴 → (∃𝑔 𝑔𝐵 → ∅ ⊊ (𝐴𝐹𝐵))))
1918impd 446 . 2 ((𝐴P𝐵P) → ((∃𝑓 𝑓𝐴 ∧ ∃𝑔 𝑔𝐵) → ∅ ⊊ (𝐴𝐹𝐵)))
207, 19mpd 15 1 ((𝐴P𝐵P) → ∅ ⊊ (𝐴𝐹𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475  ∃wex 1695   ∈ wcel 1977  {cab 2596   ≠ wne 2780  ∃wrex 2897   ⊊ wpss 3541  ∅c0 3874  (class class class)co 6549   ↦ cmpt2 6551  Qcnq 9553  Pcnp 9560 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-ni 9573  df-nq 9613  df-np 9682 This theorem is referenced by:  genpcl  9709
 Copyright terms: Public domain W3C validator