Theorem gchdomtri 9330

Description: Under certain conditions, a GCH-set can demonstrate trichotomy of dominance. Lemma for gchac 9382. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
gchdomtri	⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴 ≼ 𝐵 ∨ 𝐵 ≼ 𝐴))

Proof of Theorem gchdomtri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sdomdom 7869	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵)
2	1	con3i 149	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ≼ 𝐵 → ¬ 𝐴 ≺ 𝐵)
3		reldom 7847	. . . . . . 7 ⊢ Rel ≼
4	3	brrelexi 5082	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ≼ 𝒫 𝐴 → 𝐵 ∈ V)
5	4	3ad2ant3 1077	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → 𝐵 ∈ V)
6		fidomtri2 8703	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐵 ≼ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≺ 𝐵))
7	5, 6	sylan 487	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐵 ≼ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≺ 𝐵))
8	2, 7	syl5ibr 235	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (¬ 𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐵 ≼ 𝐴))
9	8	orrd 392	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ≼ 𝐵 ∨ 𝐵 ≼ 𝐴))
10		simp1 1054	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → 𝐴 ∈ GCH)
11	10	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ GCH)
12		simpr 476	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
13		cdadom3 8893	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵))
14	10, 5, 13	syl2anc 691	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → 𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵))
15	14	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵))
16		cdalepw 8901	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ 𝒫 𝐴)
17	16	3adant1 1072	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ 𝒫 𝐴)
18	17	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ 𝒫 𝐴)
19		gchor 9328	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵) ∧ (𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ 𝒫 𝐴)) → (𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 𝐵) ∨ (𝐴 +𝑐 𝐵) ≈ 𝒫 𝐴))
20	11, 12, 15, 18, 19	syl22anc 1319	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 𝐵) ∨ (𝐴 +𝑐 𝐵) ≈ 𝒫 𝐴))
21		cdadom3 8893	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ GCH) → 𝐵 ≼ (𝐵 +𝑐 𝐴))
22	5, 10, 21	syl2anc 691	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → 𝐵 ≼ (𝐵 +𝑐 𝐴))
23		cdacomen 8886	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 +𝑐 𝐴) ≈ (𝐴 +𝑐 𝐵)
24		domentr 7901	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ≼ (𝐵 +𝑐 𝐴) ∧ (𝐵 +𝑐 𝐴) ≈ (𝐴 +𝑐 𝐵)) → 𝐵 ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵))
25	22, 23, 24	sylancl 693	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → 𝐵 ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵))
26		domen2 7988	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 𝐵) → (𝐵 ≼ 𝐴 ↔ 𝐵 ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵)))
27	25, 26	syl5ibrcom 236	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 𝐵) → 𝐵 ≼ 𝐴))
28	27	imp 444	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 𝐵)) → 𝐵 ≼ 𝐴)
29	28	olcd 407	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 𝐵)) → (𝐴 ≼ 𝐵 ∨ 𝐵 ≼ 𝐴))
30		simpl1 1057	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐴 +𝑐 𝐵) ≈ 𝒫 𝐴) → 𝐴 ∈ GCH)
31		canth2g 7999	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ GCH → 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
32		sdomdom 7869	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≺ 𝒫 𝐴 → 𝐴 ≼ 𝒫 𝐴)
33	30, 31, 32	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐴 +𝑐 𝐵) ≈ 𝒫 𝐴) → 𝐴 ≼ 𝒫 𝐴)
34		simpl2 1058	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐴 +𝑐 𝐵) ≈ 𝒫 𝐴) → (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴)
35		pwen 8018	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴 → 𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴)
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐴 +𝑐 𝐵) ≈ 𝒫 𝐴) → 𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴)
37		enen2 7986	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 +𝑐 𝐵) ≈ 𝒫 𝐴 → (𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ (𝐴 +𝑐 𝐵) ↔ 𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴))
38	37	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐴 +𝑐 𝐵) ≈ 𝒫 𝐴) → (𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ (𝐴 +𝑐 𝐵) ↔ 𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴))
39	36, 38	mpbird 246	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐴 +𝑐 𝐵) ≈ 𝒫 𝐴) → 𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ (𝐴 +𝑐 𝐵))
40		endom 7868	. . . . . . 7 ⊢ (𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ (𝐴 +𝑐 𝐵) → 𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵))
41		pwcdadom 8921	. . . . . . 7 ⊢ (𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵) → 𝒫 𝐴 ≼ 𝐵)
42	39, 40, 41	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐴 +𝑐 𝐵) ≈ 𝒫 𝐴) → 𝒫 𝐴 ≼ 𝐵)
43		domtr 7895	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝒫 𝐴 ∧ 𝒫 𝐴 ≼ 𝐵) → 𝐴 ≼ 𝐵)
44	33, 42, 43	syl2anc 691	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐴 +𝑐 𝐵) ≈ 𝒫 𝐴) → 𝐴 ≼ 𝐵)
45	44	orcd 406	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐴 +𝑐 𝐵) ≈ 𝒫 𝐴) → (𝐴 ≼ 𝐵 ∨ 𝐵 ≼ 𝐴))
46	29, 45	jaodan 822	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 𝐵) ∨ (𝐴 +𝑐 𝐵) ≈ 𝒫 𝐴)) → (𝐴 ≼ 𝐵 ∨ 𝐵 ≼ 𝐴))
47	20, 46	syldan 486	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ≼ 𝐵 ∨ 𝐵 ≼ 𝐴))
48	9, 47	pm2.61dan 828	1 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴 ≼ 𝐵 ∨ 𝐵 ≼ 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173  𝒫 cpw 4108   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549   ≈ cen 7838   ≼ cdom 7839   ≺ csdm 7840  Fincfn 7841   +_𝑐 ccda 8872  GCHcgch 9321

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-1o 7447  df-2o 7448  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-wdom 8347  df-card 8648  df-cda 8873  df-gch 9322

This theorem is referenced by:  gchaclem  9379