Theorem gchcda1 9357

Description: An infinite GCH-set is idempotent under cardinal successor. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
gchcda1	⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 +𝑐 1𝑜) ≈ 𝐴)

Proof of Theorem gchcda1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 7606	. . . . . 6 ⊢ 1𝑜 ∈ ω
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ Fin → 1𝑜 ∈ ω)
3		cdadom3 8893	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ 1𝑜 ∈ ω) → 𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 1𝑜))
4	2, 3	sylan2 490	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 1𝑜))
5		simpr 476	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
6		nnfi 8038	. . . . . . . . 9 ⊢ (1𝑜 ∈ ω → 1𝑜 ∈ Fin)
7	1, 6	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ Fin → 1𝑜 ∈ Fin)
8		fidomtri2 8703	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ 1𝑜 ∈ Fin) → (𝐴 ≼ 1𝑜 ↔ ¬ 1𝑜 ≺ 𝐴))
9	7, 8	sylan2 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ≼ 1𝑜 ↔ ¬ 1𝑜 ≺ 𝐴))
10	1, 6	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 1𝑜 ∈ Fin)
11		domfi 8066	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1𝑜 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 1𝑜) → 𝐴 ∈ Fin)
12	11	ex 449	. . . . . . . 8 ⊢ (1𝑜 ∈ Fin → (𝐴 ≼ 1𝑜 → 𝐴 ∈ Fin))
13	10, 12	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ≼ 1𝑜 → 𝐴 ∈ Fin))
14	9, 13	sylbird 249	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (¬ 1𝑜 ≺ 𝐴 → 𝐴 ∈ Fin))
15	5, 14	mt3d 139	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 1𝑜 ≺ 𝐴)
16		canthp1 9355	. . . . 5 ⊢ (1𝑜 ≺ 𝐴 → (𝐴 +𝑐 1𝑜) ≺ 𝒫 𝐴)
17	15, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 +𝑐 1𝑜) ≺ 𝒫 𝐴)
18	4, 17	jca 553	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 1𝑜) ∧ (𝐴 +𝑐 1𝑜) ≺ 𝒫 𝐴))
19		gchen1 9326	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 1𝑜) ∧ (𝐴 +𝑐 1𝑜) ≺ 𝒫 𝐴)) → 𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 1𝑜))
20	18, 19	mpdan 699	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 1𝑜))
21	20	ensymd 7893	1 ⊢ ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 +𝑐 1𝑜) ≈ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∈ wcel 1977  𝒫 cpw 4108   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  ωcom 6957  1_𝑜c1o 7440   ≈ cen 7838   ≼ cdom 7839   ≺ csdm 7840  Fincfn 7841   +_𝑐 ccda 8872  GCHcgch 9321

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-gch 9322

This theorem is referenced by:  gchinf  9358  gchcdaidm  9369  gchpwdom  9371