Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gchcda1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gchcda1 9357
 Description: An infinite GCH-set is idempotent under cardinal successor. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
gchcda1 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 +𝑐 1𝑜) ≈ 𝐴)

Proof of Theorem gchcda1
StepHypRef Expression
1 1onn 7606 . . . . . 6 1𝑜 ∈ ω
21a1i 11 . . . . 5 𝐴 ∈ Fin → 1𝑜 ∈ ω)
3 cdadom3 8893 . . . . 5 ((𝐴 ∈ GCH ∧ 1𝑜 ∈ ω) → 𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 1𝑜))
42, 3sylan2 490 . . . 4 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 1𝑜))
5 simpr 476 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
6 nnfi 8038 . . . . . . . . 9 (1𝑜 ∈ ω → 1𝑜 ∈ Fin)
71, 6mp1i 13 . . . . . . . 8 𝐴 ∈ Fin → 1𝑜 ∈ Fin)
8 fidomtri2 8703 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ GCH ∧ 1𝑜 ∈ Fin) → (𝐴 ≼ 1𝑜 ↔ ¬ 1𝑜𝐴))
97, 8sylan2 490 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ≼ 1𝑜 ↔ ¬ 1𝑜𝐴))
101, 6mp1i 13 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 1𝑜 ∈ Fin)
11 domfi 8066 . . . . . . . . 9 ((1𝑜 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 1𝑜) → 𝐴 ∈ Fin)
1211ex 449 . . . . . . . 8 (1𝑜 ∈ Fin → (𝐴 ≼ 1𝑜𝐴 ∈ Fin))
1310, 12syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ≼ 1𝑜𝐴 ∈ Fin))
149, 13sylbird 249 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (¬ 1𝑜𝐴𝐴 ∈ Fin))
155, 14mt3d 139 . . . . 5 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 1𝑜𝐴)
16 canthp1 9355 . . . . 5 (1𝑜𝐴 → (𝐴 +𝑐 1𝑜) ≺ 𝒫 𝐴)
1715, 16syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 +𝑐 1𝑜) ≺ 𝒫 𝐴)
184, 17jca 553 . . 3 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 1𝑜) ∧ (𝐴 +𝑐 1𝑜) ≺ 𝒫 𝐴))
19 gchen1 9326 . . 3 (((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ (𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 1𝑜) ∧ (𝐴 +𝑐 1𝑜) ≺ 𝒫 𝐴)) → 𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 1𝑜))
2018, 19mpdan 699 . 2 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 1𝑜))
2120ensymd 7893 1 ((𝐴 ∈ GCH ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 +𝑐 1𝑜) ≈ 𝐴)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∈ wcel 1977  𝒫 cpw 4108   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  ωcom 6957  1𝑜c1o 7440   ≈ cen 7838   ≼ cdom 7839   ≺ csdm 7840  Fincfn 7841   +𝑐 ccda 8872  GCHcgch 9321 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-gch 9322 This theorem is referenced by:  gchinf  9358  gchcdaidm  9369  gchpwdom  9371
 Copyright terms: Public domain W3C validator