MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzadd2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzadd2 12247
Description: Membership of a sum in a finite interval of integers. (Contributed by Jeff Madsen, 17-Jun-2010.)
Assertion
Ref Expression
fzadd2 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ)) → ((𝐽 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑂...𝑃)) → (𝐽 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝑂)...(𝑁 + 𝑃))))

Proof of Theorem fzadd2
StepHypRef Expression
1 elfz1 12202 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐽 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐽𝐽𝑁)))
2 elfz1 12202 . . 3 ((𝑂 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑂...𝑃) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑂𝐾𝐾𝑃)))
31, 2bi2anan9 913 . 2 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ)) → ((𝐽 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑂...𝑃)) ↔ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐽𝐽𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑂𝐾𝐾𝑃))))
4 an6 1400 . . 3 (((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐽𝐽𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑂𝐾𝐾𝑃)) ↔ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝐽𝑂𝐾) ∧ (𝐽𝑁𝐾𝑃)))
5 zre 11258 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
6 zre 11258 . . . . . . . . . . 11 (𝑂 ∈ ℤ → 𝑂 ∈ ℝ)
75, 6anim12i 588 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑂 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑂 ∈ ℝ))
8 zre 11258 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ ℤ → 𝐽 ∈ ℝ)
9 zre 11258 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
108, 9anim12i 588 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ))
11 le2add 10389 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑂 ∈ ℝ) ∧ (𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ)) → ((𝑀𝐽𝑂𝐾) → (𝑀 + 𝑂) ≤ (𝐽 + 𝐾)))
127, 10, 11syl2an 493 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑂 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → ((𝑀𝐽𝑂𝐾) → (𝑀 + 𝑂) ≤ (𝐽 + 𝐾)))
1312impr 647 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑂 ∈ ℤ) ∧ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝐽𝑂𝐾))) → (𝑀 + 𝑂) ≤ (𝐽 + 𝐾))
14133adantr3 1215 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑂 ∈ ℤ) ∧ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝐽𝑂𝐾) ∧ (𝐽𝑁𝐾𝑃))) → (𝑀 + 𝑂) ≤ (𝐽 + 𝐾))
1514adantlr 747 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑂 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ)) ∧ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝐽𝑂𝐾) ∧ (𝐽𝑁𝐾𝑃))) → (𝑀 + 𝑂) ≤ (𝐽 + 𝐾))
16 zre 11258 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
17 zre 11258 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ ℤ → 𝑃 ∈ ℝ)
1816, 17anim12i 588 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ))
19 le2add 10389 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ)) → ((𝐽𝑁𝐾𝑃) → (𝐽 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝑃)))
2010, 18, 19syl2anr 494 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → ((𝐽𝑁𝐾𝑃) → (𝐽 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝑃)))
2120impr 647 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝐽𝑁𝐾𝑃))) → (𝐽 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝑃))
22213adantr2 1214 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝐽𝑂𝐾) ∧ (𝐽𝑁𝐾𝑃))) → (𝐽 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝑃))
2322adantll 746 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑂 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ)) ∧ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝐽𝑂𝐾) ∧ (𝐽𝑁𝐾𝑃))) → (𝐽 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝑃))
24 zaddcl 11294 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐽 + 𝐾) ∈ ℤ)
25 zaddcl 11294 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑂 ∈ ℤ) → (𝑀 + 𝑂) ∈ ℤ)
26 zaddcl 11294 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑁 + 𝑃) ∈ ℤ)
27 elfz 12203 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝑂) ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 𝑃) ∈ ℤ) → ((𝐽 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝑂)...(𝑁 + 𝑃)) ↔ ((𝑀 + 𝑂) ≤ (𝐽 + 𝐾) ∧ (𝐽 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝑃))))
2824, 25, 26, 27syl3an 1360 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑂 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ)) → ((𝐽 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝑂)...(𝑁 + 𝑃)) ↔ ((𝑀 + 𝑂) ≤ (𝐽 + 𝐾) ∧ (𝐽 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝑃))))
29283expb 1258 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑂 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ))) → ((𝐽 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝑂)...(𝑁 + 𝑃)) ↔ ((𝑀 + 𝑂) ≤ (𝐽 + 𝐾) ∧ (𝐽 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝑃))))
3029ancoms 468 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑂 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ)) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → ((𝐽 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝑂)...(𝑁 + 𝑃)) ↔ ((𝑀 + 𝑂) ≤ (𝐽 + 𝐾) ∧ (𝐽 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝑃))))
31303ad2antr1 1219 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑂 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ)) ∧ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝐽𝑂𝐾) ∧ (𝐽𝑁𝐾𝑃))) → ((𝐽 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝑂)...(𝑁 + 𝑃)) ↔ ((𝑀 + 𝑂) ≤ (𝐽 + 𝐾) ∧ (𝐽 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝑃))))
3215, 23, 31mpbir2and 959 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑂 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ)) ∧ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝐽𝑂𝐾) ∧ (𝐽𝑁𝐾𝑃))) → (𝐽 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝑂)...(𝑁 + 𝑃)))
3332ex 449 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑂 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ)) → (((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝐽𝑂𝐾) ∧ (𝐽𝑁𝐾𝑃)) → (𝐽 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝑂)...(𝑁 + 𝑃))))
3433an4s 865 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ)) → (((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝐽𝑂𝐾) ∧ (𝐽𝑁𝐾𝑃)) → (𝐽 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝑂)...(𝑁 + 𝑃))))
354, 34syl5bi 231 . 2 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ)) → (((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐽𝐽𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑂𝐾𝐾𝑃)) → (𝐽 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝑂)...(𝑁 + 𝑃))))
363, 35sylbid 229 1 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ)) → ((𝐽 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑂...𝑃)) → (𝐽 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝑂)...(𝑁 + 𝑃))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383  w3a 1031  wcel 1977   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  cr 9814   + caddc 9818  cle 9954  cz 11254  ...cfz 12197
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-fz 12198
This theorem is referenced by:  wwlksnextproplem1  41115
  Copyright terms: Public domain W3C validator