Theorem fvsn 6351

Description: The value of a singleton of an ordered pair is the second member. (Contributed by NM, 12-Aug-1994.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvsn.1	⊢ 𝐴 ∈ V
fvsn.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
fvsn	⊢ ({⟨𝐴, 𝐵⟩}‘𝐴) = 𝐵

Proof of Theorem fvsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvsn.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		fvsn.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
3	1, 2	funsn 5853	. 2 ⊢ Fun {⟨𝐴, 𝐵⟩}
4		opex 4859	. . 3 ⊢ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ V
5	4	snid 4155	. 2 ⊢ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ {⟨𝐴, 𝐵⟩}
6		funopfv 6145	. 2 ⊢ (Fun {⟨𝐴, 𝐵⟩} → (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ {⟨𝐴, 𝐵⟩} → ({⟨𝐴, 𝐵⟩}‘𝐴) = 𝐵))
7	3, 5, 6	mp2 9	1 ⊢ ({⟨𝐴, 𝐵⟩}‘𝐴) = 𝐵

Syntax hints:   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173  {csn 4125  ⟨cop 4131  Fun wfun 5798  ‘cfv 5804

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pr 4833

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fv 5812

This theorem is referenced by:  fvsng  6352  fvsnun1  6353  fvpr1  6361  elixpsn  7833  mapsnen  7920  ac6sfi  8089  dcomex  9152  axdc3lem4  9158  0ram  15562  mdet0fv0  20219  chpmat0d  20458  imasdsf1olem  21988  axlowdimlem8  25629  axlowdimlem11  25632  wlkntrllem2  26090  constr1trl  26118  subfacp1lem2a  30416  subfacp1lem5  30420  cvmliftlem4  30524  finixpnum  32564  poimirlem3  32582  fdc  32711  grposnOLD  32851