Mathbox for Richard Penner < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fvmptiunrelexplb1d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fvmptiunrelexplb1d 36997
 Description: If the indexed union ranges over the first power of the relation, then the relation is a subset of the appliction of the function to the relation. (Contributed by RP, 22-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fvmptiunrelexplb1d.c 𝐶 = (𝑟 ∈ V ↦ 𝑛𝑁 (𝑟𝑟𝑛))
fvmptiunrelexplb1d.r (𝜑𝑅 ∈ V)
fvmptiunrelexplb1d.n (𝜑𝑁 ∈ V)
fvmptiunrelexplb1d.1 (𝜑 → 1 ∈ 𝑁)
Assertion
Ref Expression
fvmptiunrelexplb1d (𝜑𝑅 ⊆ (𝐶𝑅))
Distinct variable groups:   𝑛,𝑟,𝐶,𝑁   𝑅,𝑛,𝑟
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛,𝑟)

Proof of Theorem fvmptiunrelexplb1d
StepHypRef Expression
1 fvmptiunrelexplb1d.1 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ 𝑁)
2 oveq2 6557 . . . 4 (𝑛 = 1 → (𝑅𝑟𝑛) = (𝑅𝑟1))
32ssiun2s 4500 . . 3 (1 ∈ 𝑁 → (𝑅𝑟1) ⊆ 𝑛𝑁 (𝑅𝑟𝑛))
41, 3syl 17 . 2 (𝜑 → (𝑅𝑟1) ⊆ 𝑛𝑁 (𝑅𝑟𝑛))
5 fvmptiunrelexplb1d.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ V)
65relexp1d 13619 . 2 (𝜑 → (𝑅𝑟1) = 𝑅)
7 fvmptiunrelexplb1d.n . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ V)
8 ovex 6577 . . . . . 6 (𝑅𝑟𝑛) ∈ V
98rgenw 2908 . . . . 5 𝑛𝑁 (𝑅𝑟𝑛) ∈ V
10 iunexg 7035 . . . . 5 ((𝑁 ∈ V ∧ ∀𝑛𝑁 (𝑅𝑟𝑛) ∈ V) → 𝑛𝑁 (𝑅𝑟𝑛) ∈ V)
117, 9, 10sylancl 693 . . . 4 (𝜑 𝑛𝑁 (𝑅𝑟𝑛) ∈ V)
12 oveq1 6556 . . . . . 6 (𝑟 = 𝑅 → (𝑟𝑟𝑛) = (𝑅𝑟𝑛))
1312iuneq2d 4483 . . . . 5 (𝑟 = 𝑅 𝑛𝑁 (𝑟𝑟𝑛) = 𝑛𝑁 (𝑅𝑟𝑛))
14 fvmptiunrelexplb1d.c . . . . 5 𝐶 = (𝑟 ∈ V ↦ 𝑛𝑁 (𝑟𝑟𝑛))
1513, 14fvmptg 6189 . . . 4 ((𝑅 ∈ V ∧ 𝑛𝑁 (𝑅𝑟𝑛) ∈ V) → (𝐶𝑅) = 𝑛𝑁 (𝑅𝑟𝑛))
165, 11, 15syl2anc 691 . . 3 (𝜑 → (𝐶𝑅) = 𝑛𝑁 (𝑅𝑟𝑛))
1716eqcomd 2616 . 2 (𝜑 𝑛𝑁 (𝑅𝑟𝑛) = (𝐶𝑅))
184, 6, 173sstr3d 3610 1 (𝜑𝑅 ⊆ (𝐶𝑅))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540  ∪ ciun 4455   ↦ cmpt 4643  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  1c1 9816  ↑𝑟crelexp 13608 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-seq 12664  df-relexp 13609 This theorem is referenced by:  fvilbdRP  37001  fvrcllb1d  37006  fvtrcllb1d  37033  fvrtrcllb1d  37048
 Copyright terms: Public domain W3C validator