Theorem funpr 5858

Description: A function with a domain of two elements. (Contributed by Jeff Madsen, 20-Jun-2010.)

Hypotheses

Ref	Expression
funpr.1	⊢ 𝐴 ∈ V
funpr.2	⊢ 𝐵 ∈ V
funpr.3	⊢ 𝐶 ∈ V
funpr.4	⊢ 𝐷 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
funpr	⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → Fun {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩})

Proof of Theorem funpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funpr.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		funpr.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
3	1, 2	pm3.2i 470	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V)
4		funpr.3	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ V
5		funpr.4	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ V
6	4, 5	pm3.2i 470	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ V ∧ 𝐷 ∈ V)
7		funprg 5854	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝐶 ∈ V ∧ 𝐷 ∈ V) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → Fun {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩})
8	3, 6, 7	mp3an12 1406	1 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → Fun {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  Vcvv 3173  {cpr 4127  ⟨cop 4131  Fun wfun 5798

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pr 4833

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-br 4584  df-opab 4644  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-fun 5806

This theorem is referenced by:  funtp  5859  fpr  6326  fnprb  6377  1sdom  8048