MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funconstss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem funconstss 6243
Description: Two ways of specifying that a function is constant on a subdomain. (Contributed by NM, 8-Mar-2007.)
Assertion
Ref Expression
funconstss ((Fun 𝐹𝐴 ⊆ dom 𝐹) → (∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = 𝐵𝐴 ⊆ (𝐹 “ {𝐵})))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem funconstss
StepHypRef Expression
1 funimass4 6157 . . 3 ((Fun 𝐹𝐴 ⊆ dom 𝐹) → ((𝐹𝐴) ⊆ {𝐵} ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ {𝐵}))
2 fvex 6113 . . . . 5 (𝐹𝑥) ∈ V
32elsn 4140 . . . 4 ((𝐹𝑥) ∈ {𝐵} ↔ (𝐹𝑥) = 𝐵)
43ralbii 2963 . . 3 (∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ {𝐵} ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = 𝐵)
51, 4syl6rbb 276 . 2 ((Fun 𝐹𝐴 ⊆ dom 𝐹) → (∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = 𝐵 ↔ (𝐹𝐴) ⊆ {𝐵}))
6 funimass3 6241 . 2 ((Fun 𝐹𝐴 ⊆ dom 𝐹) → ((𝐹𝐴) ⊆ {𝐵} ↔ 𝐴 ⊆ (𝐹 “ {𝐵})))
75, 6bitrd 267 1 ((Fun 𝐹𝐴 ⊆ dom 𝐹) → (∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = 𝐵𝐴 ⊆ (𝐹 “ {𝐵})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  wral 2896  wss 3540  {csn 4125  ccnv 5037  dom cdm 5038  cima 5041  Fun wfun 5798  cfv 5804
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pr 4833
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-fv 5812
This theorem is referenced by:  fconst3  6382  ipasslem8  27076
  Copyright terms: Public domain W3C validator