Theorem funcnvtp 5865

Description: The converse triple of ordered pairs is a function if the second members are pairwise different. Note that the second members need not be sets. (Contributed by AV, 23-Jan-2021.)

Assertion

Ref	Expression
funcnvtp	⊢ (((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊) ∧ (𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐷 ≠ 𝐹)) → Fun ◡{⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩, ⟨𝐸, 𝐹⟩})

Proof of Theorem funcnvtp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1054	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊) → 𝐴 ∈ 𝑈)
2		simp2 1055	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊) → 𝐶 ∈ 𝑉)
3		simp1 1054	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐷 ≠ 𝐹) → 𝐵 ≠ 𝐷)
4		funcnvpr 5864	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) → Fun ◡{⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩})
5	1, 2, 3, 4	syl2an3an 1378	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊) ∧ (𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐷 ≠ 𝐹)) → Fun ◡{⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩})
6		funcnvsn 5850	. . . 4 ⊢ Fun ◡{⟨𝐸, 𝐹⟩}
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊) ∧ (𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐷 ≠ 𝐹)) → Fun ◡{⟨𝐸, 𝐹⟩})
8		df-rn 5049	. . . . . . 7 ⊢ ran {⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} = dom ◡{⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩}
9		rnpropg 5533	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ran {⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} = {𝐵, 𝐷})
10	8, 9	syl5eqr 2658	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → dom ◡{⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} = {𝐵, 𝐷})
11	10	3adant3 1074	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊) → dom ◡{⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} = {𝐵, 𝐷})
12		df-rn 5049	. . . . . . 7 ⊢ ran {⟨𝐸, 𝐹⟩} = dom ◡{⟨𝐸, 𝐹⟩}
13		rnsnopg 5532	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑊 → ran {⟨𝐸, 𝐹⟩} = {𝐹})
14	12, 13	syl5eqr 2658	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑊 → dom ◡{⟨𝐸, 𝐹⟩} = {𝐹})
15	14	3ad2ant3 1077	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊) → dom ◡{⟨𝐸, 𝐹⟩} = {𝐹})
16	11, 15	ineq12d 3777	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊) → (dom ◡{⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} ∩ dom ◡{⟨𝐸, 𝐹⟩}) = ({𝐵, 𝐷} ∩ {𝐹}))
17		disjprsn 4196	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐷 ≠ 𝐹) → ({𝐵, 𝐷} ∩ {𝐹}) = ∅)
18	17	3adant1 1072	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐷 ≠ 𝐹) → ({𝐵, 𝐷} ∩ {𝐹}) = ∅)
19	16, 18	sylan9eq 2664	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊) ∧ (𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐷 ≠ 𝐹)) → (dom ◡{⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} ∩ dom ◡{⟨𝐸, 𝐹⟩}) = ∅)
20		funun 5846	. . 3 ⊢ (((Fun ◡{⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} ∧ Fun ◡{⟨𝐸, 𝐹⟩}) ∧ (dom ◡{⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} ∩ dom ◡{⟨𝐸, 𝐹⟩}) = ∅) → Fun (◡{⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} ∪ ◡{⟨𝐸, 𝐹⟩}))
21	5, 7, 19, 20	syl21anc 1317	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊) ∧ (𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐷 ≠ 𝐹)) → Fun (◡{⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} ∪ ◡{⟨𝐸, 𝐹⟩}))
22		df-tp 4130	. . . . 5 ⊢ {⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩, ⟨𝐸, 𝐹⟩} = ({⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} ∪ {⟨𝐸, 𝐹⟩})
23	22	cnveqi 5219	. . . 4 ⊢ ◡{⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩, ⟨𝐸, 𝐹⟩} = ◡({⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} ∪ {⟨𝐸, 𝐹⟩})
24		cnvun 5457	. . . 4 ⊢ ◡({⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} ∪ {⟨𝐸, 𝐹⟩}) = (◡{⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} ∪ ◡{⟨𝐸, 𝐹⟩})
25	23, 24	eqtri 2632	. . 3 ⊢ ◡{⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩, ⟨𝐸, 𝐹⟩} = (◡{⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} ∪ ◡{⟨𝐸, 𝐹⟩})
26	25	funeqi 5824	. 2 ⊢ (Fun ◡{⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩, ⟨𝐸, 𝐹⟩} ↔ Fun (◡{⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} ∪ ◡{⟨𝐸, 𝐹⟩}))
27	21, 26	sylibr 223	1 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊) ∧ (𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐷 ≠ 𝐹)) → Fun ◡{⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩, ⟨𝐸, 𝐹⟩})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   ∪ cun 3538   ∩ cin 3539  ∅c0 3874  {csn 4125  {cpr 4127  {ctp 4129  ⟨cop 4131  ^◡ccnv 5037  dom cdm 5038  ran crn 5039  Fun wfun 5798

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pr 4833

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rab 2905  df-v 3175  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-br 4584  df-opab 4644  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-fun 5806

This theorem is referenced by:  funcnvs3  13509