MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fthoppc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fthoppc 16406
Description: The opposite functor of a faithful functor is also faithful. Proposition 3.43(c) in [Adamek] p. 39. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fulloppc.o 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
fulloppc.p 𝑃 = (oppCat‘𝐷)
fthoppc.f (𝜑𝐹(𝐶 Faith 𝐷)𝐺)
Assertion
Ref Expression
fthoppc (𝜑𝐹(𝑂 Faith 𝑃)tpos 𝐺)

Proof of Theorem fthoppc
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fulloppc.o . . 3 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
2 fulloppc.p . . 3 𝑃 = (oppCat‘𝐷)
3 fthoppc.f . . . 4 (𝜑𝐹(𝐶 Faith 𝐷)𝐺)
4 fthfunc 16390 . . . . 5 (𝐶 Faith 𝐷) ⊆ (𝐶 Func 𝐷)
54ssbri 4627 . . . 4 (𝐹(𝐶 Faith 𝐷)𝐺𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)
63, 5syl 17 . . 3 (𝜑𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)
71, 2, 6funcoppc 16358 . 2 (𝜑𝐹(𝑂 Func 𝑃)tpos 𝐺)
8 eqid 2610 . . . . . 6 (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
9 eqid 2610 . . . . . 6 (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
10 eqid 2610 . . . . . 6 (Hom ‘𝐷) = (Hom ‘𝐷)
113adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → 𝐹(𝐶 Faith 𝐷)𝐺)
12 simprr 792 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))
13 simprl 790 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐶))
148, 9, 10, 11, 12, 13fthf1 16400 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → (𝑦𝐺𝑥):(𝑦(Hom ‘𝐶)𝑥)–1-1→((𝐹𝑦)(Hom ‘𝐷)(𝐹𝑥)))
15 df-f1 5809 . . . . . 6 ((𝑦𝐺𝑥):(𝑦(Hom ‘𝐶)𝑥)–1-1→((𝐹𝑦)(Hom ‘𝐷)(𝐹𝑥)) ↔ ((𝑦𝐺𝑥):(𝑦(Hom ‘𝐶)𝑥)⟶((𝐹𝑦)(Hom ‘𝐷)(𝐹𝑥)) ∧ Fun (𝑦𝐺𝑥)))
1615simprbi 479 . . . . 5 ((𝑦𝐺𝑥):(𝑦(Hom ‘𝐶)𝑥)–1-1→((𝐹𝑦)(Hom ‘𝐷)(𝐹𝑥)) → Fun (𝑦𝐺𝑥))
1714, 16syl 17 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → Fun (𝑦𝐺𝑥))
18 ovtpos 7254 . . . . . 6 (𝑥tpos 𝐺𝑦) = (𝑦𝐺𝑥)
1918cnveqi 5219 . . . . 5 (𝑥tpos 𝐺𝑦) = (𝑦𝐺𝑥)
2019funeqi 5824 . . . 4 (Fun (𝑥tpos 𝐺𝑦) ↔ Fun (𝑦𝐺𝑥))
2117, 20sylibr 223 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → Fun (𝑥tpos 𝐺𝑦))
2221ralrimivva 2954 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐶)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐶)Fun (𝑥tpos 𝐺𝑦))
231, 8oppcbas 16201 . . 3 (Base‘𝐶) = (Base‘𝑂)
2423isfth 16397 . 2 (𝐹(𝑂 Faith 𝑃)tpos 𝐺 ↔ (𝐹(𝑂 Func 𝑃)tpos 𝐺 ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐶)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐶)Fun (𝑥tpos 𝐺𝑦)))
257, 22, 24sylanbrc 695 1 (𝜑𝐹(𝑂 Faith 𝑃)tpos 𝐺)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  wral 2896   class class class wbr 4583  ccnv 5037  Fun wfun 5798  wf 5800  1-1wf1 5801  cfv 5804  (class class class)co 6549  tpos ctpos 7238  Basecbs 15695  Hom chom 15779  oppCatcoppc 16194   Func cfunc 16337   Faith cfth 16386
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-map 7746  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-hom 15793  df-cco 15794  df-cat 16152  df-cid 16153  df-oppc 16195  df-func 16341  df-fth 16388
This theorem is referenced by:  ffthoppc  16407  fthepi  16411
  Copyright terms: Public domain W3C validator