Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fsumf1of Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumf1of 38641
 Description: Re-index a finite sum using a bijection. Same as fsumf1o 14301, but using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumf1of.1 𝑘𝜑
fsumf1of.2 𝑛𝜑
fsumf1of.3 (𝑘 = 𝐺𝐵 = 𝐷)
fsumf1of.4 (𝜑𝐶 ∈ Fin)
fsumf1of.5 (𝜑𝐹:𝐶1-1-onto𝐴)
fsumf1of.6 ((𝜑𝑛𝐶) → (𝐹𝑛) = 𝐺)
fsumf1of.7 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
fsumf1of (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑛𝐶 𝐷)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑛   𝐶,𝑛   𝐷,𝑘   𝑛,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘,𝑛)   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝐷(𝑛)   𝐹(𝑘)   𝐺(𝑛)

Proof of Theorem fsumf1of
Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 csbeq1a 3508 . . . 4 (𝑘 = 𝑖𝐵 = 𝑖 / 𝑘𝐵)
2 nfcv 2751 . . . 4 𝑖𝐴
3 nfcv 2751 . . . 4 𝑘𝐴
4 nfcv 2751 . . . 4 𝑖𝐵
5 nfcsb1v 3515 . . . 4 𝑘𝑖 / 𝑘𝐵
61, 2, 3, 4, 5cbvsum 14273 . . 3 Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑖𝐴 𝑖 / 𝑘𝐵
76a1i 11 . 2 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑖𝐴 𝑖 / 𝑘𝐵)
8 nfv 1830 . . . . 5 𝑘 𝑖 = 𝑗 / 𝑛𝐺
9 nfcv 2751 . . . . . 6 𝑘𝑗 / 𝑛𝐷
105, 9nfeq 2762 . . . . 5 𝑘𝑖 / 𝑘𝐵 = 𝑗 / 𝑛𝐷
118, 10nfim 1813 . . . 4 𝑘(𝑖 = 𝑗 / 𝑛𝐺𝑖 / 𝑘𝐵 = 𝑗 / 𝑛𝐷)
12 eqeq1 2614 . . . . 5 (𝑘 = 𝑖 → (𝑘 = 𝑗 / 𝑛𝐺𝑖 = 𝑗 / 𝑛𝐺))
131eqeq1d 2612 . . . . 5 (𝑘 = 𝑖 → (𝐵 = 𝑗 / 𝑛𝐷𝑖 / 𝑘𝐵 = 𝑗 / 𝑛𝐷))
1412, 13imbi12d 333 . . . 4 (𝑘 = 𝑖 → ((𝑘 = 𝑗 / 𝑛𝐺𝐵 = 𝑗 / 𝑛𝐷) ↔ (𝑖 = 𝑗 / 𝑛𝐺𝑖 / 𝑘𝐵 = 𝑗 / 𝑛𝐷)))
15 nfcv 2751 . . . . . . 7 𝑛𝑘
16 nfcsb1v 3515 . . . . . . 7 𝑛𝑗 / 𝑛𝐺
1715, 16nfeq 2762 . . . . . 6 𝑛 𝑘 = 𝑗 / 𝑛𝐺
18 nfcv 2751 . . . . . . 7 𝑛𝐵
19 nfcsb1v 3515 . . . . . . 7 𝑛𝑗 / 𝑛𝐷
2018, 19nfeq 2762 . . . . . 6 𝑛 𝐵 = 𝑗 / 𝑛𝐷
2117, 20nfim 1813 . . . . 5 𝑛(𝑘 = 𝑗 / 𝑛𝐺𝐵 = 𝑗 / 𝑛𝐷)
22 csbeq1a 3508 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑗𝐺 = 𝑗 / 𝑛𝐺)
2322eqeq2d 2620 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑗 → (𝑘 = 𝐺𝑘 = 𝑗 / 𝑛𝐺))
24 csbeq1a 3508 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑗𝐷 = 𝑗 / 𝑛𝐷)
2524eqeq2d 2620 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑗 → (𝐵 = 𝐷𝐵 = 𝑗 / 𝑛𝐷))
2623, 25imbi12d 333 . . . . 5 (𝑛 = 𝑗 → ((𝑘 = 𝐺𝐵 = 𝐷) ↔ (𝑘 = 𝑗 / 𝑛𝐺𝐵 = 𝑗 / 𝑛𝐷)))
27 fsumf1of.3 . . . . 5 (𝑘 = 𝐺𝐵 = 𝐷)
2821, 26, 27chvar 2250 . . . 4 (𝑘 = 𝑗 / 𝑛𝐺𝐵 = 𝑗 / 𝑛𝐷)
2911, 14, 28chvar 2250 . . 3 (𝑖 = 𝑗 / 𝑛𝐺𝑖 / 𝑘𝐵 = 𝑗 / 𝑛𝐷)
30 fsumf1of.4 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ Fin)
31 fsumf1of.5 . . 3 (𝜑𝐹:𝐶1-1-onto𝐴)
32 fsumf1of.2 . . . . . 6 𝑛𝜑
33 nfv 1830 . . . . . 6 𝑛 𝑗𝐶
3432, 33nfan 1816 . . . . 5 𝑛(𝜑𝑗𝐶)
35 nfcv 2751 . . . . . 6 𝑛(𝐹𝑗)
3635, 16nfeq 2762 . . . . 5 𝑛(𝐹𝑗) = 𝑗 / 𝑛𝐺
3734, 36nfim 1813 . . . 4 𝑛((𝜑𝑗𝐶) → (𝐹𝑗) = 𝑗 / 𝑛𝐺)
38 eleq1 2676 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑗 → (𝑛𝐶𝑗𝐶))
3938anbi2d 736 . . . . 5 (𝑛 = 𝑗 → ((𝜑𝑛𝐶) ↔ (𝜑𝑗𝐶)))
40 fveq2 6103 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑗 → (𝐹𝑛) = (𝐹𝑗))
4140, 22eqeq12d 2625 . . . . 5 (𝑛 = 𝑗 → ((𝐹𝑛) = 𝐺 ↔ (𝐹𝑗) = 𝑗 / 𝑛𝐺))
4239, 41imbi12d 333 . . . 4 (𝑛 = 𝑗 → (((𝜑𝑛𝐶) → (𝐹𝑛) = 𝐺) ↔ ((𝜑𝑗𝐶) → (𝐹𝑗) = 𝑗 / 𝑛𝐺)))
43 fsumf1of.6 . . . 4 ((𝜑𝑛𝐶) → (𝐹𝑛) = 𝐺)
4437, 42, 43chvar 2250 . . 3 ((𝜑𝑗𝐶) → (𝐹𝑗) = 𝑗 / 𝑛𝐺)
45 fsumf1of.1 . . . . . 6 𝑘𝜑
46 nfv 1830 . . . . . 6 𝑘 𝑖𝐴
4745, 46nfan 1816 . . . . 5 𝑘(𝜑𝑖𝐴)
485nfel1 2765 . . . . 5 𝑘𝑖 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ
4947, 48nfim 1813 . . . 4 𝑘((𝜑𝑖𝐴) → 𝑖 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
50 eleq1 2676 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑖 → (𝑘𝐴𝑖𝐴))
5150anbi2d 736 . . . . 5 (𝑘 = 𝑖 → ((𝜑𝑘𝐴) ↔ (𝜑𝑖𝐴)))
521eleq1d 2672 . . . . 5 (𝑘 = 𝑖 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ 𝑖 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ))
5351, 52imbi12d 333 . . . 4 (𝑘 = 𝑖 → (((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑𝑖𝐴) → 𝑖 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)))
54 fsumf1of.7 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
5549, 53, 54chvar 2250 . . 3 ((𝜑𝑖𝐴) → 𝑖 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
5629, 30, 31, 44, 55fsumf1o 14301 . 2 (𝜑 → Σ𝑖𝐴 𝑖 / 𝑘𝐵 = Σ𝑗𝐶 𝑗 / 𝑛𝐷)
57 nfcv 2751 . . . . 5 𝑗𝐶
58 nfcv 2751 . . . . 5 𝑛𝐶
59 nfcv 2751 . . . . 5 𝑗𝐷
6024, 57, 58, 59, 19cbvsum 14273 . . . 4 Σ𝑛𝐶 𝐷 = Σ𝑗𝐶 𝑗 / 𝑛𝐷
6160eqcomi 2619 . . 3 Σ𝑗𝐶 𝑗 / 𝑛𝐷 = Σ𝑛𝐶 𝐷
6261a1i 11 . 2 (𝜑 → Σ𝑗𝐶 𝑗 / 𝑛𝐷 = Σ𝑛𝐶 𝐷)
637, 56, 623eqtrd 2648 1 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑛𝐶 𝐷)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475  Ⅎwnf 1699   ∈ wcel 1977  ⦋csb 3499  –1-1-onto→wf1o 5803  ‘cfv 5804  Fincfn 7841  ℂcc 9813  Σcsu 14264 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265 This theorem is referenced by:  sge0f1o  39275
 Copyright terms: Public domain W3C validator