Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | opelf 5978 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐹:{𝐴}⟶{𝐵} ∧ 〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐹) → (𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {𝐵})) |
2 | | velsn 4141 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑥 ∈ {𝐴} ↔ 𝑥 = 𝐴) |
3 | | velsn 4141 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑦 ∈ {𝐵} ↔ 𝑦 = 𝐵) |
4 | 2, 3 | anbi12i 729 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {𝐵}) ↔ (𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵)) |
5 | 1, 4 | sylib 207 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐹:{𝐴}⟶{𝐵} ∧ 〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐹) → (𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵)) |
6 | 5 | ex 449 |
. . . . . 6
⊢ (𝐹:{𝐴}⟶{𝐵} → (〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐹 → (𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵))) |
7 | | fsn.1 |
. . . . . . . . . 10
⊢ 𝐴 ∈ V |
8 | 7 | snid 4155 |
. . . . . . . . 9
⊢ 𝐴 ∈ {𝐴} |
9 | | feu 5993 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐹:{𝐴}⟶{𝐵} ∧ 𝐴 ∈ {𝐴}) → ∃!𝑦 ∈ {𝐵}〈𝐴, 𝑦〉 ∈ 𝐹) |
10 | 8, 9 | mpan2 703 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐹:{𝐴}⟶{𝐵} → ∃!𝑦 ∈ {𝐵}〈𝐴, 𝑦〉 ∈ 𝐹) |
11 | 3 | anbi1i 727 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑦 ∈ {𝐵} ∧ 〈𝐴, 𝑦〉 ∈ 𝐹) ↔ (𝑦 = 𝐵 ∧ 〈𝐴, 𝑦〉 ∈ 𝐹)) |
12 | | opeq2 4341 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑦 = 𝐵 → 〈𝐴, 𝑦〉 = 〈𝐴, 𝐵〉) |
13 | 12 | eleq1d 2672 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑦 = 𝐵 → (〈𝐴, 𝑦〉 ∈ 𝐹 ↔ 〈𝐴, 𝐵〉 ∈ 𝐹)) |
14 | 13 | pm5.32i 667 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑦 = 𝐵 ∧ 〈𝐴, 𝑦〉 ∈ 𝐹) ↔ (𝑦 = 𝐵 ∧ 〈𝐴, 𝐵〉 ∈ 𝐹)) |
15 | | ancom 465 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
((〈𝐴, 𝐵〉 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 = 𝐵) ↔ (𝑦 = 𝐵 ∧ 〈𝐴, 𝐵〉 ∈ 𝐹)) |
16 | 14, 15 | bitr4i 266 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑦 = 𝐵 ∧ 〈𝐴, 𝑦〉 ∈ 𝐹) ↔ (〈𝐴, 𝐵〉 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 = 𝐵)) |
17 | 11, 16 | bitr2i 264 |
. . . . . . . . . 10
⊢
((〈𝐴, 𝐵〉 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 = 𝐵) ↔ (𝑦 ∈ {𝐵} ∧ 〈𝐴, 𝑦〉 ∈ 𝐹)) |
18 | 17 | eubii 2480 |
. . . . . . . . 9
⊢
(∃!𝑦(〈𝐴, 𝐵〉 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 = 𝐵) ↔ ∃!𝑦(𝑦 ∈ {𝐵} ∧ 〈𝐴, 𝑦〉 ∈ 𝐹)) |
19 | | fsn.2 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ 𝐵 ∈ V |
20 | 19 | eueq1 3346 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
∃!𝑦 𝑦 = 𝐵 |
21 | 20 | biantru 525 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(〈𝐴, 𝐵〉 ∈ 𝐹 ↔ (〈𝐴, 𝐵〉 ∈ 𝐹 ∧ ∃!𝑦 𝑦 = 𝐵)) |
22 | | euanv 2522 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(∃!𝑦(〈𝐴, 𝐵〉 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 = 𝐵) ↔ (〈𝐴, 𝐵〉 ∈ 𝐹 ∧ ∃!𝑦 𝑦 = 𝐵)) |
23 | 21, 22 | bitr4i 266 |
. . . . . . . . 9
⊢
(〈𝐴, 𝐵〉 ∈ 𝐹 ↔ ∃!𝑦(〈𝐴, 𝐵〉 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 = 𝐵)) |
24 | | df-reu 2903 |
. . . . . . . . 9
⊢
(∃!𝑦 ∈
{𝐵}〈𝐴, 𝑦〉 ∈ 𝐹 ↔ ∃!𝑦(𝑦 ∈ {𝐵} ∧ 〈𝐴, 𝑦〉 ∈ 𝐹)) |
25 | 18, 23, 24 | 3bitr4i 291 |
. . . . . . . 8
⊢
(〈𝐴, 𝐵〉 ∈ 𝐹 ↔ ∃!𝑦 ∈ {𝐵}〈𝐴, 𝑦〉 ∈ 𝐹) |
26 | 10, 25 | sylibr 223 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐹:{𝐴}⟶{𝐵} → 〈𝐴, 𝐵〉 ∈ 𝐹) |
27 | | opeq12 4342 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵) → 〈𝑥, 𝑦〉 = 〈𝐴, 𝐵〉) |
28 | 27 | eleq1d 2672 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵) → (〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐹 ↔ 〈𝐴, 𝐵〉 ∈ 𝐹)) |
29 | 26, 28 | syl5ibrcom 236 |
. . . . . 6
⊢ (𝐹:{𝐴}⟶{𝐵} → ((𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵) → 〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐹)) |
30 | 6, 29 | impbid 201 |
. . . . 5
⊢ (𝐹:{𝐴}⟶{𝐵} → (〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐹 ↔ (𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵))) |
31 | | opex 4859 |
. . . . . . 7
⊢
〈𝑥, 𝑦〉 ∈ V |
32 | 31 | elsn 4140 |
. . . . . 6
⊢
(〈𝑥, 𝑦〉 ∈ {〈𝐴, 𝐵〉} ↔ 〈𝑥, 𝑦〉 = 〈𝐴, 𝐵〉) |
33 | 7, 19 | opth2 4875 |
. . . . . 6
⊢
(〈𝑥, 𝑦〉 = 〈𝐴, 𝐵〉 ↔ (𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵)) |
34 | 32, 33 | bitr2i 264 |
. . . . 5
⊢ ((𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵) ↔ 〈𝑥, 𝑦〉 ∈ {〈𝐴, 𝐵〉}) |
35 | 30, 34 | syl6bb 275 |
. . . 4
⊢ (𝐹:{𝐴}⟶{𝐵} → (〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐹 ↔ 〈𝑥, 𝑦〉 ∈ {〈𝐴, 𝐵〉})) |
36 | 35 | alrimivv 1843 |
. . 3
⊢ (𝐹:{𝐴}⟶{𝐵} → ∀𝑥∀𝑦(〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐹 ↔ 〈𝑥, 𝑦〉 ∈ {〈𝐴, 𝐵〉})) |
37 | | frel 5963 |
. . . 4
⊢ (𝐹:{𝐴}⟶{𝐵} → Rel 𝐹) |
38 | 7, 19 | relsnop 5147 |
. . . 4
⊢ Rel
{〈𝐴, 𝐵〉} |
39 | | eqrel 5132 |
. . . 4
⊢ ((Rel
𝐹 ∧ Rel {〈𝐴, 𝐵〉}) → (𝐹 = {〈𝐴, 𝐵〉} ↔ ∀𝑥∀𝑦(〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐹 ↔ 〈𝑥, 𝑦〉 ∈ {〈𝐴, 𝐵〉}))) |
40 | 37, 38, 39 | sylancl 693 |
. . 3
⊢ (𝐹:{𝐴}⟶{𝐵} → (𝐹 = {〈𝐴, 𝐵〉} ↔ ∀𝑥∀𝑦(〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐹 ↔ 〈𝑥, 𝑦〉 ∈ {〈𝐴, 𝐵〉}))) |
41 | 36, 40 | mpbird 246 |
. 2
⊢ (𝐹:{𝐴}⟶{𝐵} → 𝐹 = {〈𝐴, 𝐵〉}) |
42 | 7, 19 | f1osn 6088 |
. . . 4
⊢
{〈𝐴, 𝐵〉}:{𝐴}–1-1-onto→{𝐵} |
43 | | f1oeq1 6040 |
. . . 4
⊢ (𝐹 = {〈𝐴, 𝐵〉} → (𝐹:{𝐴}–1-1-onto→{𝐵} ↔ {〈𝐴, 𝐵〉}:{𝐴}–1-1-onto→{𝐵})) |
44 | 42, 43 | mpbiri 247 |
. . 3
⊢ (𝐹 = {〈𝐴, 𝐵〉} → 𝐹:{𝐴}–1-1-onto→{𝐵}) |
45 | | f1of 6050 |
. . 3
⊢ (𝐹:{𝐴}–1-1-onto→{𝐵} → 𝐹:{𝐴}⟶{𝐵}) |
46 | 44, 45 | syl 17 |
. 2
⊢ (𝐹 = {〈𝐴, 𝐵〉} → 𝐹:{𝐴}⟶{𝐵}) |
47 | 41, 46 | impbii 198 |
1
⊢ (𝐹:{𝐴}⟶{𝐵} ↔ 𝐹 = {〈𝐴, 𝐵〉}) |