Theorem fsfnn0gsumfsffz 18202

Description: Replacing a finitely supported function over the nonnegative integers by a function over a finite set of sequential integers in a finite group sum. (Contributed by AV, 9-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0gsumfz.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
nn0gsumfz.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
nn0gsumfz.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
nn0gsumfz.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐵 ↑𝑚 ℕ0))
fsfnn0gsumfsffz.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)
fsfnn0gsumfsffz.h	⊢ 𝐻 = (𝐹 ↾ (0...𝑆))

Assertion

Ref	Expression
fsfnn0gsumfsffz	⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 0 ) → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝐻)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝑆   𝑥, 0

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem fsfnn0gsumfsffz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsfnn0gsumfsffz.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝐹 ↾ (0...𝑆))
2	1	oveq2i 6560	. . 3 ⊢ (𝐺 Σg 𝐻) = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (0...𝑆)))
3		nn0gsumfz.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4		nn0gsumfz.0	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
5		nn0gsumfz.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
6	5	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 0 )) → 𝐺 ∈ CMnd)
7		nn0ex 11175	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 0 )) → ℕ0 ∈ V)
9		nn0gsumfz.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐵 ↑𝑚 ℕ0))
10		elmapi 7765	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑𝑚 ℕ0) → 𝐹:ℕ0⟶𝐵)
11	9, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ0⟶𝐵)
12	11	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 0 )) → 𝐹:ℕ0⟶𝐵)
13		fvex 6113	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐺) ∈ V
14	4, 13	eqeltri 2684	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
15	14	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 0 )) → 0 ∈ V)
16	9	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 0 )) → 𝐹 ∈ (𝐵 ↑𝑚 ℕ0))
17		fsfnn0gsumfsffz.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)
18	17	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 0 )) → 𝑆 ∈ ℕ0)
19		simpr 476	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 0 )) → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 0 ))
20	15, 16, 18, 19	suppssfz 12656	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 0 )) → (𝐹 supp 0 ) ⊆ (0...𝑆))
21		elmapfun 7767	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑𝑚 ℕ0) → Fun 𝐹)
22	9, 21	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
23	14	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
24	9, 22, 23	3jca 1235	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐵 ↑𝑚 ℕ0) ∧ Fun 𝐹 ∧ 0 ∈ V))
25	24	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ (0...𝑆)) → (𝐹 ∈ (𝐵 ↑𝑚 ℕ0) ∧ Fun 𝐹 ∧ 0 ∈ V))
26		fzfid 12634	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0...𝑆) ∈ Fin)
27	26	anim1i 590	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ (0...𝑆)) → ((0...𝑆) ∈ Fin ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ (0...𝑆)))
28		suppssfifsupp 8173	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐵 ↑𝑚 ℕ0) ∧ Fun 𝐹 ∧ 0 ∈ V) ∧ ((0...𝑆) ∈ Fin ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ (0...𝑆))) → 𝐹 finSupp 0 )
29	25, 27, 28	syl2anc 691	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ (0...𝑆)) → 𝐹 finSupp 0 )
30	20, 29	syldan 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 0 )) → 𝐹 finSupp 0 )
31	3, 4, 6, 8, 12, 20, 30	gsumres 18137	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 0 )) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (0...𝑆))) = (𝐺 Σg 𝐹))
32	2, 31	syl5req 2657	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 0 )) → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝐻))
33	32	ex 449	1 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 0 ) → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝐻)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540   class class class wbr 4583   ↾ cres 5040  Fun wfun 5798  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   supp csupp 7182   ↑_𝑚 cmap 7744  Fincfn 7841   finSupp cfsupp 8158  0cc0 9815   < clt 9953  ℕ₀cn0 11169  ...cfz 12197  Basecbs 15695  0_gc0g 15923   Σ_g cgsu 15924  CMndccmn 18016

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-hash 12980  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-cntz 17573  df-cmn 18018

This theorem is referenced by:  nn0gsumfz  18203  gsummptnn0fz  18205