Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frrlem5c Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frrlem5c 31030
 Description: Lemma for founded recursion. The union of a subclass of 𝐵 is a function. (Contributed by Paul Chapman, 29-Apr-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
frrlem5.1 𝑅 Fr 𝐴
frrlem5.2 𝑅 Se 𝐴
frrlem5.3 𝐵 = {𝑓 ∣ ∃𝑥(𝑓 Fn 𝑥 ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑓𝑦) = (𝑦𝐺(𝑓 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)))))}
Assertion
Ref Expression
frrlem5c (𝐶𝐵 → Fun 𝐶)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑥,𝑦   𝑓,𝐺,𝑥,𝑦   𝑅,𝑓,𝑥,𝑦   𝑥,𝐵
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑦,𝑓)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑓)

Proof of Theorem frrlem5c
Dummy variables 𝑔 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uniss 4394 . 2 (𝐶𝐵 𝐶 𝐵)
2 ssid 3587 . . . 4 𝐵𝐵
3 frrlem5.1 . . . . 5 𝑅 Fr 𝐴
4 frrlem5.2 . . . . 5 𝑅 Se 𝐴
5 frrlem5.3 . . . . 5 𝐵 = {𝑓 ∣ ∃𝑥(𝑓 Fn 𝑥 ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑓𝑦) = (𝑦𝐺(𝑓 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)))))}
63, 4, 5frrlem5b 31029 . . . 4 (𝐵𝐵 → Rel 𝐵)
72, 6ax-mp 5 . . 3 Rel 𝐵
8 eluni 4375 . . . . . . . . 9 (⟨𝑥, 𝑢⟩ ∈ 𝐵 ↔ ∃𝑔(⟨𝑥, 𝑢⟩ ∈ 𝑔𝑔𝐵))
9 df-br 4584 . . . . . . . . 9 (𝑥 𝐵𝑢 ↔ ⟨𝑥, 𝑢⟩ ∈ 𝐵)
10 df-br 4584 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝑔𝑢 ↔ ⟨𝑥, 𝑢⟩ ∈ 𝑔)
1110anbi1i 727 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝑔𝑢𝑔𝐵) ↔ (⟨𝑥, 𝑢⟩ ∈ 𝑔𝑔𝐵))
1211exbii 1764 . . . . . . . . 9 (∃𝑔(𝑥𝑔𝑢𝑔𝐵) ↔ ∃𝑔(⟨𝑥, 𝑢⟩ ∈ 𝑔𝑔𝐵))
138, 9, 123bitr4i 291 . . . . . . . 8 (𝑥 𝐵𝑢 ↔ ∃𝑔(𝑥𝑔𝑢𝑔𝐵))
14 eluni 4375 . . . . . . . . 9 (⟨𝑥, 𝑣⟩ ∈ 𝐵 ↔ ∃(⟨𝑥, 𝑣⟩ ∈ 𝐵))
15 df-br 4584 . . . . . . . . 9 (𝑥 𝐵𝑣 ↔ ⟨𝑥, 𝑣⟩ ∈ 𝐵)
16 df-br 4584 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝑣 ↔ ⟨𝑥, 𝑣⟩ ∈ )
1716anbi1i 727 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝑣𝐵) ↔ (⟨𝑥, 𝑣⟩ ∈ 𝐵))
1817exbii 1764 . . . . . . . . 9 (∃(𝑥𝑣𝐵) ↔ ∃(⟨𝑥, 𝑣⟩ ∈ 𝐵))
1914, 15, 183bitr4i 291 . . . . . . . 8 (𝑥 𝐵𝑣 ↔ ∃(𝑥𝑣𝐵))
2013, 19anbi12i 729 . . . . . . 7 ((𝑥 𝐵𝑢𝑥 𝐵𝑣) ↔ (∃𝑔(𝑥𝑔𝑢𝑔𝐵) ∧ ∃(𝑥𝑣𝐵)))
21 eeanv 2170 . . . . . . 7 (∃𝑔((𝑥𝑔𝑢𝑔𝐵) ∧ (𝑥𝑣𝐵)) ↔ (∃𝑔(𝑥𝑔𝑢𝑔𝐵) ∧ ∃(𝑥𝑣𝐵)))
2220, 21bitr4i 266 . . . . . 6 ((𝑥 𝐵𝑢𝑥 𝐵𝑣) ↔ ∃𝑔((𝑥𝑔𝑢𝑔𝐵) ∧ (𝑥𝑣𝐵)))
233, 4, 5frrlem5 31028 . . . . . . . . 9 ((𝑔𝐵𝐵) → ((𝑥𝑔𝑢𝑥𝑣) → 𝑢 = 𝑣))
2423impcom 445 . . . . . . . 8 (((𝑥𝑔𝑢𝑥𝑣) ∧ (𝑔𝐵𝐵)) → 𝑢 = 𝑣)
2524an4s 865 . . . . . . 7 (((𝑥𝑔𝑢𝑔𝐵) ∧ (𝑥𝑣𝐵)) → 𝑢 = 𝑣)
2625exlimivv 1847 . . . . . 6 (∃𝑔((𝑥𝑔𝑢𝑔𝐵) ∧ (𝑥𝑣𝐵)) → 𝑢 = 𝑣)
2722, 26sylbi 206 . . . . 5 ((𝑥 𝐵𝑢𝑥 𝐵𝑣) → 𝑢 = 𝑣)
2827ax-gen 1713 . . . 4 𝑣((𝑥 𝐵𝑢𝑥 𝐵𝑣) → 𝑢 = 𝑣)
2928gen2 1714 . . 3 𝑥𝑢𝑣((𝑥 𝐵𝑢𝑥 𝐵𝑣) → 𝑢 = 𝑣)
30 dffun2 5814 . . 3 (Fun 𝐵 ↔ (Rel 𝐵 ∧ ∀𝑥𝑢𝑣((𝑥 𝐵𝑢𝑥 𝐵𝑣) → 𝑢 = 𝑣)))
317, 29, 30mpbir2an 957 . 2 Fun 𝐵
32 funss 5822 . 2 ( 𝐶 𝐵 → (Fun 𝐵 → Fun 𝐶))
331, 31, 32mpisyl 21 1 (𝐶𝐵 → Fun 𝐶)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031  ∀wal 1473   = wceq 1475  ∃wex 1695   ∈ wcel 1977  {cab 2596  ∀wral 2896   ⊆ wss 3540  ⟨cop 4131  ∪ cuni 4372   class class class wbr 4583   Fr wfr 4994   Se wse 4995   ↾ cres 5040  Rel wrel 5043  Predcpred 5596  Fun wfun 5798   Fn wfn 5799  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-trpred 30962 This theorem is referenced by:  frrlem10  31035
 Copyright terms: Public domain W3C validator