Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmsslss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frlmsslss 19932
 Description: A subset of a free module obtained by restricting the support set is a submodule. 𝐽 is the set of forbidden unit vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmsslss.y 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmsslss.u 𝑈 = (LSubSp‘𝑌)
frlmsslss.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
frlmsslss.z 0 = (0g𝑅)
frlmsslss.c 𝐶 = {𝑥𝐵 ∣ (𝑥𝐽) = (𝐽 × { 0 })}
Assertion
Ref Expression
frlmsslss ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → 𝐶𝑈)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐼   𝑥,𝐽   𝑥,𝑅   𝑥,𝑈   𝑥, 0   𝑥,𝑉   𝑥,𝑌
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem frlmsslss
StepHypRef Expression
1 frlmsslss.c . . 3 𝐶 = {𝑥𝐵 ∣ (𝑥𝐽) = (𝐽 × { 0 })}
2 simp1 1054 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → 𝑅 ∈ Ring)
3 simp2 1055 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → 𝐼𝑉)
4 simp3 1056 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → 𝐽𝐼)
53, 4ssexd 4733 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → 𝐽 ∈ V)
6 eqid 2610 . . . . . . 7 (𝑅 freeLMod 𝐽) = (𝑅 freeLMod 𝐽)
7 frlmsslss.z . . . . . . 7 0 = (0g𝑅)
86, 7frlm0 19917 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐽 ∈ V) → (𝐽 × { 0 }) = (0g‘(𝑅 freeLMod 𝐽)))
92, 5, 8syl2anc 691 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → (𝐽 × { 0 }) = (0g‘(𝑅 freeLMod 𝐽)))
109eqeq2d 2620 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → ((𝑥𝐽) = (𝐽 × { 0 }) ↔ (𝑥𝐽) = (0g‘(𝑅 freeLMod 𝐽))))
1110rabbidv 3164 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → {𝑥𝐵 ∣ (𝑥𝐽) = (𝐽 × { 0 })} = {𝑥𝐵 ∣ (𝑥𝐽) = (0g‘(𝑅 freeLMod 𝐽))})
121, 11syl5eq 2656 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → 𝐶 = {𝑥𝐵 ∣ (𝑥𝐽) = (0g‘(𝑅 freeLMod 𝐽))})
13 frlmsslss.y . . . 4 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
14 frlmsslss.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑌)
15 eqid 2610 . . . 4 (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐽)) = (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐽))
16 eqid 2610 . . . 4 (𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐽)) = (𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐽))
1713, 6, 14, 15, 16frlmsplit2 19931 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → (𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐽)) ∈ (𝑌 LMHom (𝑅 freeLMod 𝐽)))
18 fvex 6113 . . . . . 6 (0g‘(𝑅 freeLMod 𝐽)) ∈ V
1916mptiniseg 5546 . . . . . 6 ((0g‘(𝑅 freeLMod 𝐽)) ∈ V → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐽)) “ {(0g‘(𝑅 freeLMod 𝐽))}) = {𝑥𝐵 ∣ (𝑥𝐽) = (0g‘(𝑅 freeLMod 𝐽))})
2018, 19ax-mp 5 . . . . 5 ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐽)) “ {(0g‘(𝑅 freeLMod 𝐽))}) = {𝑥𝐵 ∣ (𝑥𝐽) = (0g‘(𝑅 freeLMod 𝐽))}
2120eqcomi 2619 . . . 4 {𝑥𝐵 ∣ (𝑥𝐽) = (0g‘(𝑅 freeLMod 𝐽))} = ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐽)) “ {(0g‘(𝑅 freeLMod 𝐽))})
22 eqid 2610 . . . 4 (0g‘(𝑅 freeLMod 𝐽)) = (0g‘(𝑅 freeLMod 𝐽))
23 frlmsslss.u . . . 4 𝑈 = (LSubSp‘𝑌)
2421, 22, 23lmhmkerlss 18872 . . 3 ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐽)) ∈ (𝑌 LMHom (𝑅 freeLMod 𝐽)) → {𝑥𝐵 ∣ (𝑥𝐽) = (0g‘(𝑅 freeLMod 𝐽))} ∈ 𝑈)
2517, 24syl 17 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → {𝑥𝐵 ∣ (𝑥𝐽) = (0g‘(𝑅 freeLMod 𝐽))} ∈ 𝑈)
2612, 25eqeltrd 2688 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → 𝐶𝑈)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  {crab 2900  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540  {csn 4125   ↦ cmpt 4643   × cxp 5036  ◡ccnv 5037   ↾ cres 5040   “ cima 5041  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  0gc0g 15923  Ringcrg 18370  LSubSpclss 18753   LMHom clmhm 18840   freeLMod cfrlm 19909 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-hom 15793  df-cco 15794  df-0g 15925  df-prds 15931  df-pws 15933  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-subg 17414  df-ghm 17481  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-subrg 18601  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-lmhm 18843  df-sra 18993  df-rgmod 18994  df-dsmm 19895  df-frlm 19910 This theorem is referenced by:  frlmsslss2  19933
 Copyright terms: Public domain W3C validator