Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmipval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frlmipval 19937
 Description: The inner product of a free module. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmphl.y 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmphl.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
frlmphl.t · = (.r𝑅)
frlmphl.v 𝑉 = (Base‘𝑌)
frlmphl.j , = (·𝑖𝑌)
Assertion
Ref Expression
frlmipval (((𝐼𝑊𝑅𝑋) ∧ (𝐹𝑉𝐺𝑉)) → (𝐹 , 𝐺) = (𝑅 Σg (𝐹𝑓 · 𝐺)))

Proof of Theorem frlmipval
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frlmphl.y . . . . . . 7 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
2 frlmphl.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑅)
3 frlmphl.v . . . . . . 7 𝑉 = (Base‘𝑌)
41, 2, 3frlmbasmap 19922 . . . . . 6 ((𝐼𝑊𝐹𝑉) → 𝐹 ∈ (𝐵𝑚 𝐼))
54ad2ant2r 779 . . . . 5 (((𝐼𝑊𝑅𝑋) ∧ (𝐹𝑉𝐺𝑉)) → 𝐹 ∈ (𝐵𝑚 𝐼))
6 elmapi 7765 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) → 𝐹:𝐼𝐵)
7 ffn 5958 . . . . 5 (𝐹:𝐼𝐵𝐹 Fn 𝐼)
85, 6, 73syl 18 . . . 4 (((𝐼𝑊𝑅𝑋) ∧ (𝐹𝑉𝐺𝑉)) → 𝐹 Fn 𝐼)
91, 2, 3frlmbasmap 19922 . . . . . 6 ((𝐼𝑊𝐺𝑉) → 𝐺 ∈ (𝐵𝑚 𝐼))
109ad2ant2rl 781 . . . . 5 (((𝐼𝑊𝑅𝑋) ∧ (𝐹𝑉𝐺𝑉)) → 𝐺 ∈ (𝐵𝑚 𝐼))
11 elmapi 7765 . . . . 5 (𝐺 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) → 𝐺:𝐼𝐵)
12 ffn 5958 . . . . 5 (𝐺:𝐼𝐵𝐺 Fn 𝐼)
1310, 11, 123syl 18 . . . 4 (((𝐼𝑊𝑅𝑋) ∧ (𝐹𝑉𝐺𝑉)) → 𝐺 Fn 𝐼)
14 simpll 786 . . . 4 (((𝐼𝑊𝑅𝑋) ∧ (𝐹𝑉𝐺𝑉)) → 𝐼𝑊)
15 inidm 3784 . . . 4 (𝐼𝐼) = 𝐼
16 eqidd 2611 . . . 4 ((((𝐼𝑊𝑅𝑋) ∧ (𝐹𝑉𝐺𝑉)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑥))
17 eqidd 2611 . . . 4 ((((𝐼𝑊𝑅𝑋) ∧ (𝐹𝑉𝐺𝑉)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑥))
188, 13, 14, 14, 15, 16, 17offval 6802 . . 3 (((𝐼𝑊𝑅𝑋) ∧ (𝐹𝑉𝐺𝑉)) → (𝐹𝑓 · 𝐺) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))))
1918oveq2d 6565 . 2 (((𝐼𝑊𝑅𝑋) ∧ (𝐹𝑉𝐺𝑉)) → (𝑅 Σg (𝐹𝑓 · 𝐺)) = (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥)))))
20 ovex 6577 . . . 4 (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥)))) ∈ V
2120a1i 11 . . 3 (((𝐼𝑊𝑅𝑋) ∧ (𝐹𝑉𝐺𝑉)) → (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥)))) ∈ V)
22 fveq1 6102 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓𝑥) = (𝐹𝑥))
2322oveq1d 6564 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓𝑥) · (𝑔𝑥)) = ((𝐹𝑥) · (𝑔𝑥)))
2423mpteq2dv 4673 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥) · (𝑔𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥) · (𝑔𝑥))))
2524oveq2d 6565 . . . 4 (𝑓 = 𝐹 → (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥) · (𝑔𝑥)))) = (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥) · (𝑔𝑥)))))
26 fveq1 6102 . . . . . . 7 (𝑔 = 𝐺 → (𝑔𝑥) = (𝐺𝑥))
2726oveq2d 6565 . . . . . 6 (𝑔 = 𝐺 → ((𝐹𝑥) · (𝑔𝑥)) = ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥)))
2827mpteq2dv 4673 . . . . 5 (𝑔 = 𝐺 → (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥) · (𝑔𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))))
2928oveq2d 6565 . . . 4 (𝑔 = 𝐺 → (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥) · (𝑔𝑥)))) = (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥)))))
30 eqid 2610 . . . 4 (𝑓 ∈ (𝐵𝑚 𝐼), 𝑔 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ↦ (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥) · (𝑔𝑥))))) = (𝑓 ∈ (𝐵𝑚 𝐼), 𝑔 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ↦ (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥) · (𝑔𝑥)))))
3125, 29, 30ovmpt2g 6693 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ∧ 𝐺 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ∧ (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥)))) ∈ V) → (𝐹(𝑓 ∈ (𝐵𝑚 𝐼), 𝑔 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ↦ (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥) · (𝑔𝑥)))))𝐺) = (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥)))))
325, 10, 21, 31syl3anc 1318 . 2 (((𝐼𝑊𝑅𝑋) ∧ (𝐹𝑉𝐺𝑉)) → (𝐹(𝑓 ∈ (𝐵𝑚 𝐼), 𝑔 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ↦ (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥) · (𝑔𝑥)))))𝐺) = (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥)))))
33 frlmphl.t . . . . . 6 · = (.r𝑅)
341, 2, 33frlmip 19936 . . . . 5 ((𝐼𝑊𝑅𝑋) → (𝑓 ∈ (𝐵𝑚 𝐼), 𝑔 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ↦ (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥) · (𝑔𝑥))))) = (·𝑖𝑌))
3534adantr 480 . . . 4 (((𝐼𝑊𝑅𝑋) ∧ (𝐹𝑉𝐺𝑉)) → (𝑓 ∈ (𝐵𝑚 𝐼), 𝑔 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ↦ (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥) · (𝑔𝑥))))) = (·𝑖𝑌))
36 frlmphl.j . . . 4 , = (·𝑖𝑌)
3735, 36syl6eqr 2662 . . 3 (((𝐼𝑊𝑅𝑋) ∧ (𝐹𝑉𝐺𝑉)) → (𝑓 ∈ (𝐵𝑚 𝐼), 𝑔 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ↦ (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥) · (𝑔𝑥))))) = , )
3837oveqd 6566 . 2 (((𝐼𝑊𝑅𝑋) ∧ (𝐹𝑉𝐺𝑉)) → (𝐹(𝑓 ∈ (𝐵𝑚 𝐼), 𝑔 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) ↦ (𝑅 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥) · (𝑔𝑥)))))𝐺) = (𝐹 , 𝐺))
3919, 32, 383eqtr2rd 2651 1 (((𝐼𝑊𝑅𝑋) ∧ (𝐹𝑉𝐺𝑉)) → (𝐹 , 𝐺) = (𝑅 Σg (𝐹𝑓 · 𝐺)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   ↦ cmpt 4643   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↦ cmpt2 6551   ∘𝑓 cof 6793   ↑𝑚 cmap 7744  Basecbs 15695  .rcmulr 15769  ·𝑖cip 15773   Σg cgsu 15924   freeLMod cfrlm 19909 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-hom 15793  df-cco 15794  df-0g 15925  df-prds 15931  df-pws 15933  df-sra 18993  df-rgmod 18994  df-dsmm 19895  df-frlm 19910 This theorem is referenced by:  frlmphl  19939  rrxcph  22988
 Copyright terms: Public domain W3C validator