Theorem frlmbasmap 19922

Description: Elements of the free module are set functions. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Feb-2015.) (Proof shortened by AV, 21-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmval.f	⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmbasmap.n	⊢ 𝑁 = (Base‘𝑅)
frlmbasmap.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
frlmbasmap	⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ (𝑁 ↑𝑚 𝐼))

Proof of Theorem frlmbasmap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 476	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
2		frlmval.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
3		frlmbasmap.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
4	2, 3	frlmrcl 19920	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑅 ∈ V)
5	4	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ V)
6		simpl 472	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐼 ∈ 𝑊)
7		frlmbasmap.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (Base‘𝑅)
8		eqid 2610	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
9	2, 7, 8, 3	frlmelbas 19919	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝑋 ∈ 𝐵 ↔ (𝑋 ∈ (𝑁 ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝑋 finSupp (0g‘𝑅))))
10	5, 6, 9	syl2anc 691	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ 𝐵 ↔ (𝑋 ∈ (𝑁 ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝑋 finSupp (0g‘𝑅))))
11	1, 10	mpbid 221	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ (𝑁 ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝑋 finSupp (0g‘𝑅)))
12	11	simpld 474	1 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ (𝑁 ↑𝑚 𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↑_𝑚 cmap 7744   finSupp cfsupp 8158  Basecbs 15695  0_gc0g 15923   freeLMod cfrlm 19909

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-hom 15793  df-cco 15794  df-0g 15925  df-prds 15931  df-pws 15933  df-sra 18993  df-rgmod 18994  df-dsmm 19895  df-frlm 19910

This theorem is referenced by:  frlmbasf  19923  frlmsubgval  19927  frlmipval  19937  frlmphllem  19938  frlmphl  19939  frlmsslsp  19954  rrxds  22989