Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frgrwopreglem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frgrwopreglem2 41482
 Description: Lemma 2 for frgrwopreg 41486. In a friendship graph with at least two vertices, the degree of a vertex must be at least 2. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Dec-2017.) (Revised by AV, 10-May-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
frgrwopreg.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
frgrwopreg.d 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
frgrwopreg.a 𝐴 = {𝑥𝑉 ∣ (𝐷𝑥) = 𝐾}
frgrwopreg.b 𝐵 = (𝑉𝐴)
Assertion
Ref Expression
frgrwopreglem2 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (#‘𝑉) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 1 < 𝐾)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑉   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥,𝐾
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem frgrwopreglem2
StepHypRef Expression
1 n0 3890 . . 3 (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝐴)
2 frgrwopreg.a . . . . . 6 𝐴 = {𝑥𝑉 ∣ (𝐷𝑥) = 𝐾}
32rabeq2i 3170 . . . . 5 (𝑥𝐴 ↔ (𝑥𝑉 ∧ (𝐷𝑥) = 𝐾))
43exbii 1764 . . . 4 (∃𝑥 𝑥𝐴 ↔ ∃𝑥(𝑥𝑉 ∧ (𝐷𝑥) = 𝐾))
5 frgrwopreg.v . . . . . . . . . 10 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
65vtxdgelxnn0 40687 . . . . . . . . 9 (𝑥𝑉 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ0*)
76ad2antrr 758 . . . . . . . 8 (((𝑥𝑉 ∧ (𝐷𝑥) = 𝐾) ∧ (1 < (#‘𝑉) ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph )) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ0*)
8 an3 864 . . . . . . . . . 10 (((𝑥𝑉 ∧ (𝐷𝑥) = 𝐾) ∧ (1 < (#‘𝑉) ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph )) → (𝑥𝑉𝐺 ∈ FriendGraph ))
98ancomd 466 . . . . . . . . 9 (((𝑥𝑉 ∧ (𝐷𝑥) = 𝐾) ∧ (1 < (#‘𝑉) ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph )) → (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑥𝑉))
10 simprl 790 . . . . . . . . 9 (((𝑥𝑉 ∧ (𝐷𝑥) = 𝐾) ∧ (1 < (#‘𝑉) ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph )) → 1 < (#‘𝑉))
115vdgfrgrgt2 41468 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑥𝑉) → (1 < (#‘𝑉) → 2 ≤ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)))
129, 10, 11sylc 63 . . . . . . . 8 (((𝑥𝑉 ∧ (𝐷𝑥) = 𝐾) ∧ (1 < (#‘𝑉) ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph )) → 2 ≤ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥))
13 xnn0xr 11245 . . . . . . . . 9 (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ0* → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℝ*)
14 1lt2 11071 . . . . . . . . . 10 1 < 2
15 1re 9918 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ
1615rexri 9976 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ*
17 2re 10967 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ
1817rexri 9976 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ*
19 xrltletr 11864 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ* ∧ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℝ*) → ((1 < 2 ∧ 2 ≤ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)) → 1 < ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)))
2016, 18, 19mp3an12 1406 . . . . . . . . . 10 (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℝ* → ((1 < 2 ∧ 2 ≤ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)) → 1 < ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)))
2114, 20mpani 708 . . . . . . . . 9 (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℝ* → (2 ≤ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥) → 1 < ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)))
2213, 21syl 17 . . . . . . . 8 (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ0* → (2 ≤ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥) → 1 < ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)))
237, 12, 22sylc 63 . . . . . . 7 (((𝑥𝑉 ∧ (𝐷𝑥) = 𝐾) ∧ (1 < (#‘𝑉) ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph )) → 1 < ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥))
24 frgrwopreg.d . . . . . . . . . 10 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
2524fveq1i 6104 . . . . . . . . 9 (𝐷𝑥) = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)
26 simpr 476 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝑉 ∧ (𝐷𝑥) = 𝐾) → (𝐷𝑥) = 𝐾)
2725, 26syl5eqr 2658 . . . . . . . 8 ((𝑥𝑉 ∧ (𝐷𝑥) = 𝐾) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥) = 𝐾)
2827adantr 480 . . . . . . 7 (((𝑥𝑉 ∧ (𝐷𝑥) = 𝐾) ∧ (1 < (#‘𝑉) ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph )) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥) = 𝐾)
2923, 28breqtrd 4609 . . . . . 6 (((𝑥𝑉 ∧ (𝐷𝑥) = 𝐾) ∧ (1 < (#‘𝑉) ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph )) → 1 < 𝐾)
3029exp32 629 . . . . 5 ((𝑥𝑉 ∧ (𝐷𝑥) = 𝐾) → (1 < (#‘𝑉) → (𝐺 ∈ FriendGraph → 1 < 𝐾)))
3130exlimiv 1845 . . . 4 (∃𝑥(𝑥𝑉 ∧ (𝐷𝑥) = 𝐾) → (1 < (#‘𝑉) → (𝐺 ∈ FriendGraph → 1 < 𝐾)))
324, 31sylbi 206 . . 3 (∃𝑥 𝑥𝐴 → (1 < (#‘𝑉) → (𝐺 ∈ FriendGraph → 1 < 𝐾)))
331, 32sylbi 206 . 2 (𝐴 ≠ ∅ → (1 < (#‘𝑉) → (𝐺 ∈ FriendGraph → 1 < 𝐾)))
34333imp31 1250 1 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (#‘𝑉) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 1 < 𝐾)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475  ∃wex 1695   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  {crab 2900   ∖ cdif 3537  ∅c0 3874   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  1c1 9816  ℝ*cxr 9952   < clt 9953   ≤ cle 9954  2c2 10947  ℕ0*cxnn0 11240  #chash 12979  Vtxcvtx 25673  VtxDegcvtxdg 40681   FriendGraph cfrgr 41428 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-ifp 1007  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-xadd 11823  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-concat 13156  df-s1 13157  df-s2 13444  df-s3 13445  df-uhgr 25724  df-upgr 25749  df-umgr 25750  df-edga 25793  df-uspgr 40380  df-usgr 40381  df-vtxdg 40682  df-1wlks 40800  df-wlkson 40802  df-trls 40901  df-trlson 40902  df-pths 40923  df-spths 40924  df-pthson 40925  df-spthson 40926  df-conngr 41354  df-frgr 41429 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator