Theorem frgrwopreg2 41488

Description: According to statement 5 in [Huneke] p. 2: "If ... B is a singleton, then that singleton is a universal friend". (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Jan-2018.) (Revised by AV, 11-May-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
frgrwopreg.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
frgrwopreg.d	⊢ 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
frgrwopreg.a	⊢ 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ (𝐷‘𝑥) = 𝐾}
frgrwopreg.b	⊢ 𝐵 = (𝑉 ∖ 𝐴)
frgrwopreg.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
frgrwopreg2	⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (#‘𝐵) = 1) → ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑉   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥,𝐾   𝑥,𝐷   𝑥,𝐵   𝑥,𝐸   𝑣,𝐴,𝑤,𝑥   𝑤,𝐵   𝑣,𝐺,𝑤   𝑣,𝑉,𝑤   𝑣,𝐵

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑤,𝑣)   𝐸(𝑤,𝑣)   𝐾(𝑤,𝑣)

Proof of Theorem frgrwopreg2

Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frgrwopreg.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		frgrwopreg.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
3		frgrwopreg.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ (𝐷‘𝑥) = 𝐾}
4		frgrwopreg.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (𝑉 ∖ 𝐴)
5	1, 2, 3, 4	frgrwopreglem1 41481	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V)
6	5	simpri 477	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
7		hash1snb 13068	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ V → ((#‘𝐵) = 1 ↔ ∃𝑣 𝐵 = {𝑣}))
8	6, 7	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((#‘𝐵) = 1 ↔ ∃𝑣 𝐵 = {𝑣})
9		exsnrex 4168	. . . . 5 ⊢ (∃𝑣 𝐵 = {𝑣} ↔ ∃𝑣 ∈ 𝐵 𝐵 = {𝑣})
10		difss 3699	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 ∖ 𝐴) ⊆ 𝑉
11	4, 10	eqsstri 3598	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ⊆ 𝑉
12		ssrexv 3630	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝑉 → (∃𝑣 ∈ 𝐵 𝐵 = {𝑣} → ∃𝑣 ∈ 𝑉 𝐵 = {𝑣}))
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑣 ∈ 𝐵 𝐵 = {𝑣} → ∃𝑣 ∈ 𝑉 𝐵 = {𝑣})
14		frgrwopreg.e	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
15	1, 2, 3, 4, 14	frgrwopreglem4 41484	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → ∀𝑤 ∈ 𝐴 ∀𝑢 ∈ 𝐵 {𝑤, 𝑢} ∈ 𝐸)
16		ralcom 3079	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑤 ∈ 𝐴 ∀𝑢 ∈ 𝐵 {𝑤, 𝑢} ∈ 𝐸 ↔ ∀𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐴 {𝑤, 𝑢} ∈ 𝐸)
17		vsnid 4156	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑣 ∈ {𝑣}
18		eleq2 2677	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 = {𝑣} → (𝑣 ∈ 𝐵 ↔ 𝑣 ∈ {𝑣}))
19	17, 18	mpbiri 247	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 = {𝑣} → 𝑣 ∈ 𝐵)
20		preq2 4213	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑢 = 𝑣 → {𝑤, 𝑢} = {𝑤, 𝑣})
21	20	eleq1d 2672	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 = 𝑣 → ({𝑤, 𝑢} ∈ 𝐸 ↔ {𝑤, 𝑣} ∈ 𝐸))
22	21	ralbidv 2969	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 = 𝑣 → (∀𝑤 ∈ 𝐴 {𝑤, 𝑢} ∈ 𝐸 ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐴 {𝑤, 𝑣} ∈ 𝐸))
23	22	rspcv 3278	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 ∈ 𝐵 → (∀𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐴 {𝑤, 𝑢} ∈ 𝐸 → ∀𝑤 ∈ 𝐴 {𝑤, 𝑣} ∈ 𝐸))
24	19, 23	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 = {𝑣} → (∀𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐴 {𝑤, 𝑢} ∈ 𝐸 → ∀𝑤 ∈ 𝐴 {𝑤, 𝑣} ∈ 𝐸))
25	4	eqeq1i 2615	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 = {𝑣} ↔ (𝑉 ∖ 𝐴) = {𝑣})
26		ssrab2 3650	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ (𝐷‘𝑥) = 𝐾} ⊆ 𝑉
27	3, 26	eqsstri 3598	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐴 ⊆ 𝑉
28		dfss4 3820	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑉 ↔ (𝑉 ∖ (𝑉 ∖ 𝐴)) = 𝐴)
29		eqcom 2617	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑉 ∖ (𝑉 ∖ 𝐴)) = 𝐴 ↔ 𝐴 = (𝑉 ∖ (𝑉 ∖ 𝐴)))
30	28, 29	bitri 263	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑉 ↔ 𝐴 = (𝑉 ∖ (𝑉 ∖ 𝐴)))
31	27, 30	mpbi 219	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐴 = (𝑉 ∖ (𝑉 ∖ 𝐴))
32		difeq2 3684	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑉 ∖ 𝐴) = {𝑣} → (𝑉 ∖ (𝑉 ∖ 𝐴)) = (𝑉 ∖ {𝑣}))
33	31, 32	syl5eq 2656	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑉 ∖ 𝐴) = {𝑣} → 𝐴 = (𝑉 ∖ {𝑣}))
34	25, 33	sylbi 206	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 = {𝑣} → 𝐴 = (𝑉 ∖ {𝑣}))
35		prcom 4211	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {𝑤, 𝑣} = {𝑣, 𝑤}
36	35	eleq1i 2679	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({𝑤, 𝑣} ∈ 𝐸 ↔ {𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)
37	36	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 = {𝑣} → ({𝑤, 𝑣} ∈ 𝐸 ↔ {𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))
38	34, 37	raleqbidv 3129	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 = {𝑣} → (∀𝑤 ∈ 𝐴 {𝑤, 𝑣} ∈ 𝐸 ↔ ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))
39	24, 38	sylibd 228	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 = {𝑣} → (∀𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐴 {𝑤, 𝑢} ∈ 𝐸 → ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))
40	16, 39	syl5bi 231	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = {𝑣} → (∀𝑤 ∈ 𝐴 ∀𝑢 ∈ 𝐵 {𝑤, 𝑢} ∈ 𝐸 → ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))
41	15, 40	syl5com 31	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → (𝐵 = {𝑣} → ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))
42	41	reximdv 2999	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → (∃𝑣 ∈ 𝑉 𝐵 = {𝑣} → ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))
43	13, 42	syl5com 31	. . . . 5 ⊢ (∃𝑣 ∈ 𝐵 𝐵 = {𝑣} → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))
44	9, 43	sylbi 206	. . . 4 ⊢ (∃𝑣 𝐵 = {𝑣} → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))
45	44	com12 32	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → (∃𝑣 𝐵 = {𝑣} → ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))
46	8, 45	syl5bi 231	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → ((#‘𝐵) = 1 → ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))
47	46	imp 444	1 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (#‘𝐵) = 1) → ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475  ∃wex 1695   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ∃wrex 2897  {crab 2900  Vcvv 3173   ∖ cdif 3537   ⊆ wss 3540  {csn 4125  {cpr 4127  ‘cfv 5804  1c1 9816  #chash 12979  Vtxcvtx 25673  Edgcedga 25792  VtxDegcvtxdg 40681   FriendGraph cfrgr 41428

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-xadd 11823  df-fz 12198  df-hash 12980  df-uhgr 25724  df-ushgr 25725  df-upgr 25749  df-umgr 25750  df-edga 25793  df-uspgr 40380  df-usgr 40381  df-nbgr 40554  df-vtxdg 40682  df-frgr 41429

This theorem is referenced by:  frgrregorufr0  41489