Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgrawopreglem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frgrawopreglem2 26572
 Description: Lemma 2 for frgrawopreg 26576. In a friendship graph with at least two vertices, the degree of a vertex must be at least 2. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
frgrawopreg.a 𝐴 = {𝑥𝑉 ∣ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑥) = 𝐾}
frgrawopreg.b 𝐵 = (𝑉𝐴)
Assertion
Ref Expression
frgrawopreglem2 ((𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 1 < (#‘𝑉) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 1 < 𝐾)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐸   𝑥,𝐾   𝑥,𝑉
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem frgrawopreglem2
StepHypRef Expression
1 n0 3890 . . . 4 (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝐴)
2 frgrawopreg.a . . . . . . 7 𝐴 = {𝑥𝑉 ∣ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑥) = 𝐾}
32rabeq2i 3170 . . . . . 6 (𝑥𝐴 ↔ (𝑥𝑉 ∧ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑥) = 𝐾))
43exbii 1764 . . . . 5 (∃𝑥 𝑥𝐴 ↔ ∃𝑥(𝑥𝑉 ∧ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑥) = 𝐾))
5 vdgfrgragt2 26554 . . . . . . . . . 10 ((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑥𝑉) → (1 < (#‘𝑉) → 2 ≤ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑥)))
6 frisusgra 26519 . . . . . . . . . . 11 (𝑉 FriendGrph 𝐸𝑉 USGrph 𝐸)
7 vdgrnn0pnf 26436 . . . . . . . . . . 11 ((𝑉 USGrph 𝐸𝑥𝑉) → ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑥) ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}))
86, 7sylan 487 . . . . . . . . . 10 ((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑥𝑉) → ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑥) ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}))
9 elun 3715 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ {+∞}))
10 2z 11286 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ∈ ℤ
11 nn0z 11277 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ)
12 zlem1lt 11306 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (2 ≤ 𝐾 ↔ (2 − 1) < 𝐾))
1310, 11, 12sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 ≤ 𝐾 ↔ (2 − 1) < 𝐾))
14 2m1e1 11012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (2 − 1) = 1
1514a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 − 1) = 1)
1615breq1d 4593 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((2 − 1) < 𝐾 ↔ 1 < 𝐾))
1713, 16bitrd 267 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 ≤ 𝐾 ↔ 1 < 𝐾))
1817biimpd 218 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 ≤ 𝐾 → 1 < 𝐾))
19 elsni 4142 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ {+∞} → 𝐾 = +∞)
20 1re 9918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 ∈ ℝ
21 ltpnf 11830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1 ∈ ℝ → 1 < +∞)
2220, 21ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 < +∞
23 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐾 = +∞ → 𝐾 = +∞)
2422, 23syl5breqr 4621 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐾 = +∞ → 1 < 𝐾)
2524a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 = +∞ → (2 ≤ 𝐾 → 1 < 𝐾))
2619, 25syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐾 ∈ {+∞} → (2 ≤ 𝐾 → 1 < 𝐾))
2718, 26jaoi 393 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ {+∞}) → (2 ≤ 𝐾 → 1 < 𝐾))
289, 27sylbi 206 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}) → (2 ≤ 𝐾 → 1 < 𝐾))
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑥) = 𝐾 → (𝐾 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}) → (2 ≤ 𝐾 → 1 < 𝐾)))
30 eleq1 2676 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑥) = 𝐾 → (((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑥) ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}) ↔ 𝐾 ∈ (ℕ0 ∪ {+∞})))
31 breq2 4587 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑥) = 𝐾 → (2 ≤ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑥) ↔ 2 ≤ 𝐾))
3231imbi1d 330 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑥) = 𝐾 → ((2 ≤ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑥) → 1 < 𝐾) ↔ (2 ≤ 𝐾 → 1 < 𝐾)))
3329, 30, 323imtr4d 282 . . . . . . . . . . 11 (((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑥) = 𝐾 → (((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑥) ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}) → (2 ≤ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑥) → 1 < 𝐾)))
3433com13 86 . . . . . . . . . 10 (2 ≤ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑥) → (((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑥) ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}) → (((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑥) = 𝐾 → 1 < 𝐾)))
355, 8, 34syl6ci 69 . . . . . . . . 9 ((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑥𝑉) → (1 < (#‘𝑉) → (((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑥) = 𝐾 → 1 < 𝐾)))
3635expcom 450 . . . . . . . 8 (𝑥𝑉 → (𝑉 FriendGrph 𝐸 → (1 < (#‘𝑉) → (((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑥) = 𝐾 → 1 < 𝐾))))
3736com24 93 . . . . . . 7 (𝑥𝑉 → (((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑥) = 𝐾 → (1 < (#‘𝑉) → (𝑉 FriendGrph 𝐸 → 1 < 𝐾))))
3837imp 444 . . . . . 6 ((𝑥𝑉 ∧ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑥) = 𝐾) → (1 < (#‘𝑉) → (𝑉 FriendGrph 𝐸 → 1 < 𝐾)))
3938exlimiv 1845 . . . . 5 (∃𝑥(𝑥𝑉 ∧ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑥) = 𝐾) → (1 < (#‘𝑉) → (𝑉 FriendGrph 𝐸 → 1 < 𝐾)))
404, 39sylbi 206 . . . 4 (∃𝑥 𝑥𝐴 → (1 < (#‘𝑉) → (𝑉 FriendGrph 𝐸 → 1 < 𝐾)))
411, 40sylbi 206 . . 3 (𝐴 ≠ ∅ → (1 < (#‘𝑉) → (𝑉 FriendGrph 𝐸 → 1 < 𝐾)))
4241com13 86 . 2 (𝑉 FriendGrph 𝐸 → (1 < (#‘𝑉) → (𝐴 ≠ ∅ → 1 < 𝐾)))
43423imp 1249 1 ((𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 1 < (#‘𝑉) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 1 < 𝐾)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475  ∃wex 1695   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  {crab 2900   ∖ cdif 3537   ∪ cun 3538  ∅c0 3874  {csn 4125   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  1c1 9816  +∞cpnf 9950   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145  2c2 10947  ℕ0cn0 11169  ℤcz 11254  #chash 12979   USGrph cusg 25859   VDeg cvdg 26420   FriendGrph cfrgra 26515 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-xadd 11823  df-fz 12198  df-hash 12980  df-usgra 25862  df-vdgr 26421  df-frgra 26516 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator