Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frgr2wwlkeu Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frgr2wwlkeu 41492
 Description: For two different vertices in a friendship graph, there is exactly one third vertex being the middle vertex of a (simple) path/walk of length 2 between the two vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 18-Feb-2018.) (Revised by AV, 12-May-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
frgr2wwlkeu.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
frgr2wwlkeu ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝐴𝐵) → ∃!𝑐𝑉 ⟨“𝐴𝑐𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑐   𝐵,𝑐   𝐺,𝑐   𝑉,𝑐

Proof of Theorem frgr2wwlkeu
StepHypRef Expression
1 simp1 1054 . . 3 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐺 ∈ FriendGraph )
2 df-3an 1033 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐴𝐵) ↔ ((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝐴𝐵))
32biimpri 217 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐴𝐵))
433adant1 1072 . . 3 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐴𝐵))
5 frgr2wwlkeu.v . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
6 eqid 2610 . . . 4 (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
75, 6frcond2 41439 . . 3 (𝐺 ∈ FriendGraph → ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐴𝐵) → ∃!𝑐𝑉 ({𝐴, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝐵} ∈ (Edg‘𝐺))))
81, 4, 7sylc 63 . 2 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝐴𝐵) → ∃!𝑐𝑉 ({𝐴, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝐵} ∈ (Edg‘𝐺)))
9 frgrusgr 41432 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ FriendGraph → 𝐺 ∈ USGraph )
10 usgrumgr 40409 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ UMGraph )
119, 10syl 17 . . . . . 6 (𝐺 ∈ FriendGraph → 𝐺 ∈ UMGraph )
1211ad2antrr 758 . . . . 5 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉)) ∧ 𝑐𝑉) → 𝐺 ∈ UMGraph )
13 simplrl 796 . . . . 5 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉)) ∧ 𝑐𝑉) → 𝐴𝑉)
14 simpr 476 . . . . 5 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉)) ∧ 𝑐𝑉) → 𝑐𝑉)
15 simplrr 797 . . . . 5 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉)) ∧ 𝑐𝑉) → 𝐵𝑉)
165, 6umgrwwlks2on 41161 . . . . 5 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ (𝐴𝑉𝑐𝑉𝐵𝑉)) → (⟨“𝐴𝑐𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵) ↔ ({𝐴, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝐵} ∈ (Edg‘𝐺))))
1712, 13, 14, 15, 16syl13anc 1320 . . . 4 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉)) ∧ 𝑐𝑉) → (⟨“𝐴𝑐𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵) ↔ ({𝐴, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝐵} ∈ (Edg‘𝐺))))
1817reubidva 3102 . . 3 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉)) → (∃!𝑐𝑉 ⟨“𝐴𝑐𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵) ↔ ∃!𝑐𝑉 ({𝐴, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝐵} ∈ (Edg‘𝐺))))
19183adant3 1074 . 2 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝐴𝐵) → (∃!𝑐𝑉 ⟨“𝐴𝑐𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵) ↔ ∃!𝑐𝑉 ({𝐴, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝐵} ∈ (Edg‘𝐺))))
208, 19mpbird 246 1 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝐴𝐵) → ∃!𝑐𝑉 ⟨“𝐴𝑐𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∃!wreu 2898  {cpr 4127  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  2c2 10947  ⟨“cs3 13438  Vtxcvtx 25673   UMGraph cumgr 25748  Edgcedga 25792   USGraph cusgr 40379   WWalksNOn cwwlksnon 41030   FriendGraph cfrgr 41428 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-ac2 9168  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-ifp 1007  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-ac 8822  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-concat 13156  df-s1 13157  df-s2 13444  df-s3 13445  df-uhgr 25724  df-upgr 25749  df-umgr 25750  df-edga 25793  df-usgr 40381  df-1wlks 40800  df-wlks 40801  df-wwlks 41033  df-wwlksn 41034  df-wwlksnon 41035  df-frgr 41429 This theorem is referenced by:  frgr2wwlkn0  41493  frgr2wwlk1  41494
 Copyright terms: Public domain W3C validator