Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | poeq2 4963 |
. . . 4
⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑅 Po 𝑥 ↔ 𝑅 Po ∅)) |
2 | | freq2 5009 |
. . . 4
⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑅 Fr 𝑥 ↔ 𝑅 Fr ∅)) |
3 | 1, 2 | imbi12d 333 |
. . 3
⊢ (𝑥 = ∅ → ((𝑅 Po 𝑥 → 𝑅 Fr 𝑥) ↔ (𝑅 Po ∅ → 𝑅 Fr ∅))) |
4 | | poeq2 4963 |
. . . 4
⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑅 Po 𝑥 ↔ 𝑅 Po 𝑦)) |
5 | | freq2 5009 |
. . . 4
⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑅 Fr 𝑥 ↔ 𝑅 Fr 𝑦)) |
6 | 4, 5 | imbi12d 333 |
. . 3
⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑅 Po 𝑥 → 𝑅 Fr 𝑥) ↔ (𝑅 Po 𝑦 → 𝑅 Fr 𝑦))) |
7 | | poeq2 4963 |
. . . 4
⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑤}) → (𝑅 Po 𝑥 ↔ 𝑅 Po (𝑦 ∪ {𝑤}))) |
8 | | freq2 5009 |
. . . 4
⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑤}) → (𝑅 Fr 𝑥 ↔ 𝑅 Fr (𝑦 ∪ {𝑤}))) |
9 | 7, 8 | imbi12d 333 |
. . 3
⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑤}) → ((𝑅 Po 𝑥 → 𝑅 Fr 𝑥) ↔ (𝑅 Po (𝑦 ∪ {𝑤}) → 𝑅 Fr (𝑦 ∪ {𝑤})))) |
10 | | poeq2 4963 |
. . . 4
⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑅 Po 𝑥 ↔ 𝑅 Po 𝐴)) |
11 | | freq2 5009 |
. . . 4
⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑅 Fr 𝑥 ↔ 𝑅 Fr 𝐴)) |
12 | 10, 11 | imbi12d 333 |
. . 3
⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑅 Po 𝑥 → 𝑅 Fr 𝑥) ↔ (𝑅 Po 𝐴 → 𝑅 Fr 𝐴))) |
13 | | fr0 5017 |
. . . 4
⊢ 𝑅 Fr ∅ |
14 | 13 | a1i 11 |
. . 3
⊢ (𝑅 Po ∅ → 𝑅 Fr ∅) |
15 | | ssun1 3738 |
. . . . . . 7
⊢ 𝑦 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑤}) |
16 | | poss 4961 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑦 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑤}) → (𝑅 Po (𝑦 ∪ {𝑤}) → 𝑅 Po 𝑦)) |
17 | 15, 16 | ax-mp 5 |
. . . . . 6
⊢ (𝑅 Po (𝑦 ∪ {𝑤}) → 𝑅 Po 𝑦) |
18 | 17 | imim1i 61 |
. . . . 5
⊢ ((𝑅 Po 𝑦 → 𝑅 Fr 𝑦) → (𝑅 Po (𝑦 ∪ {𝑤}) → 𝑅 Fr 𝑦)) |
19 | | uncom 3719 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑦 ∪ {𝑤}) = ({𝑤} ∪ 𝑦) |
20 | 19 | sseq2i 3593 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑥 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑤}) ↔ 𝑥 ⊆ ({𝑤} ∪ 𝑦)) |
21 | | ssundif 4004 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑥 ⊆ ({𝑤} ∪ 𝑦) ↔ (𝑥 ∖ {𝑤}) ⊆ 𝑦) |
22 | 20, 21 | bitri 263 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑥 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑤}) ↔ (𝑥 ∖ {𝑤}) ⊆ 𝑦) |
23 | 22 | anbi1i 727 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑥 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑤}) ∧ 𝑥 ≠ ∅) ↔ ((𝑥 ∖ {𝑤}) ⊆ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ ∅)) |
24 | | breq1 4586 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑣 = 𝑧 → (𝑣𝑅𝑤 ↔ 𝑧𝑅𝑤)) |
25 | 24 | cbvrexv 3148 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(∃𝑣 ∈
𝑥 𝑣𝑅𝑤 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑧𝑅𝑤) |
26 | | simpllr 795 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝑅 Po (𝑦 ∪ {𝑤}) ∧ 𝑅 Fr 𝑦) ∧ ((𝑥 ∖ {𝑤}) ⊆ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ ∅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧𝑅𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥)) → 𝑅 Fr 𝑦) |
27 | | simplrl 796 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝑅 Po (𝑦 ∪ {𝑤}) ∧ 𝑅 Fr 𝑦) ∧ ((𝑥 ∖ {𝑤}) ⊆ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ ∅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧𝑅𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥)) → (𝑥 ∖ {𝑤}) ⊆ 𝑦) |
28 | | poss 4961 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑥 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑤}) → (𝑅 Po (𝑦 ∪ {𝑤}) → 𝑅 Po 𝑥)) |
29 | 28 | impcom 445 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝑅 Po (𝑦 ∪ {𝑤}) ∧ 𝑥 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑤})) → 𝑅 Po 𝑥) |
30 | 22, 29 | sylan2br 492 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝑅 Po (𝑦 ∪ {𝑤}) ∧ (𝑥 ∖ {𝑤}) ⊆ 𝑦) → 𝑅 Po 𝑥) |
31 | 30 | ad2ant2r 779 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝑅 Po (𝑦 ∪ {𝑤}) ∧ 𝑅 Fr 𝑦) ∧ ((𝑥 ∖ {𝑤}) ⊆ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → 𝑅 Po 𝑥) |
32 | | simpr1 1060 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝑅 Po 𝑥 ∧ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧𝑅𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥)) → 𝑧 ∈ 𝑥) |
33 | | simpr2 1061 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝑅 Po 𝑥 ∧ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧𝑅𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥)) → 𝑧𝑅𝑤) |
34 | | poirr 4970 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝑅 Po 𝑥 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥) → ¬ 𝑤𝑅𝑤) |
35 | 34 | 3ad2antr3 1221 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝑅 Po 𝑥 ∧ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧𝑅𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥)) → ¬ 𝑤𝑅𝑤) |
36 | | nbrne2 4603 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝑧𝑅𝑤 ∧ ¬ 𝑤𝑅𝑤) → 𝑧 ≠ 𝑤) |
37 | 33, 35, 36 | syl2anc 691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝑅 Po 𝑥 ∧ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧𝑅𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥)) → 𝑧 ≠ 𝑤) |
38 | | eldifsn 4260 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑧 ∈ (𝑥 ∖ {𝑤}) ↔ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧 ≠ 𝑤)) |
39 | 32, 37, 38 | sylanbrc 695 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝑅 Po 𝑥 ∧ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧𝑅𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥)) → 𝑧 ∈ (𝑥 ∖ {𝑤})) |
40 | 31, 39 | sylan 487 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝑅 Po (𝑦 ∪ {𝑤}) ∧ 𝑅 Fr 𝑦) ∧ ((𝑥 ∖ {𝑤}) ⊆ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ ∅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧𝑅𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥)) → 𝑧 ∈ (𝑥 ∖ {𝑤})) |
41 | | ne0i 3880 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑧 ∈ (𝑥 ∖ {𝑤}) → (𝑥 ∖ {𝑤}) ≠ ∅) |
42 | 40, 41 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝑅 Po (𝑦 ∪ {𝑤}) ∧ 𝑅 Fr 𝑦) ∧ ((𝑥 ∖ {𝑤}) ⊆ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ ∅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧𝑅𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥)) → (𝑥 ∖ {𝑤}) ≠ ∅) |
43 | | difss 3699 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑥 ∖ {𝑤}) ⊆ 𝑥 |
44 | | vex 3176 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ 𝑥 ∈ V |
45 | | difexg 4735 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑥 ∈ V → (𝑥 ∖ {𝑤}) ∈ V) |
46 | 44, 45 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑥 ∖ {𝑤}) ∈ V |
47 | | fri 5000 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝑥 ∖ {𝑤}) ∈ V ∧ 𝑅 Fr 𝑦) ∧ ((𝑥 ∖ {𝑤}) ⊆ 𝑦 ∧ (𝑥 ∖ {𝑤}) ≠ ∅)) → ∃𝑢 ∈ (𝑥 ∖ {𝑤})∀𝑣 ∈ (𝑥 ∖ {𝑤}) ¬ 𝑣𝑅𝑢) |
48 | 46, 47 | mpanl1 712 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝑅 Fr 𝑦 ∧ ((𝑥 ∖ {𝑤}) ⊆ 𝑦 ∧ (𝑥 ∖ {𝑤}) ≠ ∅)) → ∃𝑢 ∈ (𝑥 ∖ {𝑤})∀𝑣 ∈ (𝑥 ∖ {𝑤}) ¬ 𝑣𝑅𝑢) |
49 | | ssrexv 3630 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝑥 ∖ {𝑤}) ⊆ 𝑥 → (∃𝑢 ∈ (𝑥 ∖ {𝑤})∀𝑣 ∈ (𝑥 ∖ {𝑤}) ¬ 𝑣𝑅𝑢 → ∃𝑢 ∈ 𝑥 ∀𝑣 ∈ (𝑥 ∖ {𝑤}) ¬ 𝑣𝑅𝑢)) |
50 | 43, 48, 49 | mpsyl 66 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑅 Fr 𝑦 ∧ ((𝑥 ∖ {𝑤}) ⊆ 𝑦 ∧ (𝑥 ∖ {𝑤}) ≠ ∅)) → ∃𝑢 ∈ 𝑥 ∀𝑣 ∈ (𝑥 ∖ {𝑤}) ¬ 𝑣𝑅𝑢) |
51 | 26, 27, 42, 50 | syl12anc 1316 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝑅 Po (𝑦 ∪ {𝑤}) ∧ 𝑅 Fr 𝑦) ∧ ((𝑥 ∖ {𝑤}) ⊆ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ ∅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧𝑅𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥)) → ∃𝑢 ∈ 𝑥 ∀𝑣 ∈ (𝑥 ∖ {𝑤}) ¬ 𝑣𝑅𝑢) |
52 | | breq1 4586 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝑣 = 𝑧 → (𝑣𝑅𝑢 ↔ 𝑧𝑅𝑢)) |
53 | 52 | notbid 307 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑣 = 𝑧 → (¬ 𝑣𝑅𝑢 ↔ ¬ 𝑧𝑅𝑢)) |
54 | 53 | rspcv 3278 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑧 ∈ (𝑥 ∖ {𝑤}) → (∀𝑣 ∈ (𝑥 ∖ {𝑤}) ¬ 𝑣𝑅𝑢 → ¬ 𝑧𝑅𝑢)) |
55 | 39, 54 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝑅 Po 𝑥 ∧ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧𝑅𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥)) → (∀𝑣 ∈ (𝑥 ∖ {𝑤}) ¬ 𝑣𝑅𝑢 → ¬ 𝑧𝑅𝑢)) |
56 | 55 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝑅 Po 𝑥 ∧ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧𝑅𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑥) → (∀𝑣 ∈ (𝑥 ∖ {𝑤}) ¬ 𝑣𝑅𝑢 → ¬ 𝑧𝑅𝑢)) |
57 | | simplr2 1097 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝑅 Po 𝑥 ∧ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧𝑅𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑥) → 𝑧𝑅𝑤) |
58 | | simpll 786 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝑅 Po 𝑥 ∧ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧𝑅𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑥) → 𝑅 Po 𝑥) |
59 | | simplr1 1096 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝑅 Po 𝑥 ∧ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧𝑅𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑥) |
60 | | simplr3 1098 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝑅 Po 𝑥 ∧ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧𝑅𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑥) → 𝑤 ∈ 𝑥) |
61 | | simpr 476 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝑅 Po 𝑥 ∧ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧𝑅𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑥) → 𝑢 ∈ 𝑥) |
62 | | potr 4971 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝑅 Po 𝑥 ∧ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥 ∧ 𝑢 ∈ 𝑥)) → ((𝑧𝑅𝑤 ∧ 𝑤𝑅𝑢) → 𝑧𝑅𝑢)) |
63 | 58, 59, 60, 61, 62 | syl13anc 1320 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝑅 Po 𝑥 ∧ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧𝑅𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑥) → ((𝑧𝑅𝑤 ∧ 𝑤𝑅𝑢) → 𝑧𝑅𝑢)) |
64 | 57, 63 | mpand 707 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝑅 Po 𝑥 ∧ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧𝑅𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑥) → (𝑤𝑅𝑢 → 𝑧𝑅𝑢)) |
65 | 64 | con3d 147 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝑅 Po 𝑥 ∧ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧𝑅𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑥) → (¬ 𝑧𝑅𝑢 → ¬ 𝑤𝑅𝑢)) |
66 | | vex 3176 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ 𝑤 ∈ V |
67 | | breq1 4586 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑣 = 𝑤 → (𝑣𝑅𝑢 ↔ 𝑤𝑅𝑢)) |
68 | 67 | notbid 307 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑣 = 𝑤 → (¬ 𝑣𝑅𝑢 ↔ ¬ 𝑤𝑅𝑢)) |
69 | 66, 68 | ralsn 4169 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
(∀𝑣 ∈
{𝑤} ¬ 𝑣𝑅𝑢 ↔ ¬ 𝑤𝑅𝑢) |
70 | 65, 69 | syl6ibr 241 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝑅 Po 𝑥 ∧ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧𝑅𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑥) → (¬ 𝑧𝑅𝑢 → ∀𝑣 ∈ {𝑤} ¬ 𝑣𝑅𝑢)) |
71 | 56, 70 | syld 46 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝑅 Po 𝑥 ∧ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧𝑅𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑥) → (∀𝑣 ∈ (𝑥 ∖ {𝑤}) ¬ 𝑣𝑅𝑢 → ∀𝑣 ∈ {𝑤} ¬ 𝑣𝑅𝑢)) |
72 | | ralun 3757 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
((∀𝑣 ∈
(𝑥 ∖ {𝑤}) ¬ 𝑣𝑅𝑢 ∧ ∀𝑣 ∈ {𝑤} ¬ 𝑣𝑅𝑢) → ∀𝑣 ∈ ((𝑥 ∖ {𝑤}) ∪ {𝑤}) ¬ 𝑣𝑅𝑢) |
73 | 72 | ex 449 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
(∀𝑣 ∈
(𝑥 ∖ {𝑤}) ¬ 𝑣𝑅𝑢 → (∀𝑣 ∈ {𝑤} ¬ 𝑣𝑅𝑢 → ∀𝑣 ∈ ((𝑥 ∖ {𝑤}) ∪ {𝑤}) ¬ 𝑣𝑅𝑢)) |
74 | 71, 73 | sylcom 30 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝑅 Po 𝑥 ∧ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧𝑅𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑥) → (∀𝑣 ∈ (𝑥 ∖ {𝑤}) ¬ 𝑣𝑅𝑢 → ∀𝑣 ∈ ((𝑥 ∖ {𝑤}) ∪ {𝑤}) ¬ 𝑣𝑅𝑢)) |
75 | | difsnid 4282 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑤 ∈ 𝑥 → ((𝑥 ∖ {𝑤}) ∪ {𝑤}) = 𝑥) |
76 | 75 | raleqdv 3121 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑤 ∈ 𝑥 → (∀𝑣 ∈ ((𝑥 ∖ {𝑤}) ∪ {𝑤}) ¬ 𝑣𝑅𝑢 ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑥 ¬ 𝑣𝑅𝑢)) |
77 | 60, 76 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝑅 Po 𝑥 ∧ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧𝑅𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑥) → (∀𝑣 ∈ ((𝑥 ∖ {𝑤}) ∪ {𝑤}) ¬ 𝑣𝑅𝑢 ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑥 ¬ 𝑣𝑅𝑢)) |
78 | 74, 77 | sylibd 228 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝑅 Po 𝑥 ∧ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧𝑅𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥)) ∧ 𝑢 ∈ 𝑥) → (∀𝑣 ∈ (𝑥 ∖ {𝑤}) ¬ 𝑣𝑅𝑢 → ∀𝑣 ∈ 𝑥 ¬ 𝑣𝑅𝑢)) |
79 | 78 | reximdva 3000 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑅 Po 𝑥 ∧ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧𝑅𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥)) → (∃𝑢 ∈ 𝑥 ∀𝑣 ∈ (𝑥 ∖ {𝑤}) ¬ 𝑣𝑅𝑢 → ∃𝑢 ∈ 𝑥 ∀𝑣 ∈ 𝑥 ¬ 𝑣𝑅𝑢)) |
80 | 31, 79 | sylan 487 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝑅 Po (𝑦 ∪ {𝑤}) ∧ 𝑅 Fr 𝑦) ∧ ((𝑥 ∖ {𝑤}) ⊆ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ ∅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧𝑅𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥)) → (∃𝑢 ∈ 𝑥 ∀𝑣 ∈ (𝑥 ∖ {𝑤}) ¬ 𝑣𝑅𝑢 → ∃𝑢 ∈ 𝑥 ∀𝑣 ∈ 𝑥 ¬ 𝑣𝑅𝑢)) |
81 | 51, 80 | mpd 15 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝑅 Po (𝑦 ∪ {𝑤}) ∧ 𝑅 Fr 𝑦) ∧ ((𝑥 ∖ {𝑤}) ⊆ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ ∅)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧𝑅𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥)) → ∃𝑢 ∈ 𝑥 ∀𝑣 ∈ 𝑥 ¬ 𝑣𝑅𝑢) |
82 | 81 | 3exp2 1277 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑅 Po (𝑦 ∪ {𝑤}) ∧ 𝑅 Fr 𝑦) ∧ ((𝑥 ∖ {𝑤}) ⊆ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → (𝑧 ∈ 𝑥 → (𝑧𝑅𝑤 → (𝑤 ∈ 𝑥 → ∃𝑢 ∈ 𝑥 ∀𝑣 ∈ 𝑥 ¬ 𝑣𝑅𝑢)))) |
83 | 82 | rexlimdv 3012 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝑅 Po (𝑦 ∪ {𝑤}) ∧ 𝑅 Fr 𝑦) ∧ ((𝑥 ∖ {𝑤}) ⊆ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → (∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑧𝑅𝑤 → (𝑤 ∈ 𝑥 → ∃𝑢 ∈ 𝑥 ∀𝑣 ∈ 𝑥 ¬ 𝑣𝑅𝑢))) |
84 | 25, 83 | syl5bi 231 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝑅 Po (𝑦 ∪ {𝑤}) ∧ 𝑅 Fr 𝑦) ∧ ((𝑥 ∖ {𝑤}) ⊆ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → (∃𝑣 ∈ 𝑥 𝑣𝑅𝑤 → (𝑤 ∈ 𝑥 → ∃𝑢 ∈ 𝑥 ∀𝑣 ∈ 𝑥 ¬ 𝑣𝑅𝑢))) |
85 | | ralnex 2975 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(∀𝑣 ∈
𝑥 ¬ 𝑣𝑅𝑤 ↔ ¬ ∃𝑣 ∈ 𝑥 𝑣𝑅𝑤) |
86 | | breq2 4587 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑢 = 𝑤 → (𝑣𝑅𝑢 ↔ 𝑣𝑅𝑤)) |
87 | 86 | notbid 307 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑢 = 𝑤 → (¬ 𝑣𝑅𝑢 ↔ ¬ 𝑣𝑅𝑤)) |
88 | 87 | ralbidv 2969 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑢 = 𝑤 → (∀𝑣 ∈ 𝑥 ¬ 𝑣𝑅𝑢 ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑥 ¬ 𝑣𝑅𝑤)) |
89 | 88 | rspcev 3282 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑤 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑥 ¬ 𝑣𝑅𝑤) → ∃𝑢 ∈ 𝑥 ∀𝑣 ∈ 𝑥 ¬ 𝑣𝑅𝑢) |
90 | 89 | expcom 450 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(∀𝑣 ∈
𝑥 ¬ 𝑣𝑅𝑤 → (𝑤 ∈ 𝑥 → ∃𝑢 ∈ 𝑥 ∀𝑣 ∈ 𝑥 ¬ 𝑣𝑅𝑢)) |
91 | 85, 90 | sylbir 224 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (¬
∃𝑣 ∈ 𝑥 𝑣𝑅𝑤 → (𝑤 ∈ 𝑥 → ∃𝑢 ∈ 𝑥 ∀𝑣 ∈ 𝑥 ¬ 𝑣𝑅𝑢)) |
92 | 84, 91 | pm2.61d1 170 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝑅 Po (𝑦 ∪ {𝑤}) ∧ 𝑅 Fr 𝑦) ∧ ((𝑥 ∖ {𝑤}) ⊆ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → (𝑤 ∈ 𝑥 → ∃𝑢 ∈ 𝑥 ∀𝑣 ∈ 𝑥 ¬ 𝑣𝑅𝑢)) |
93 | | difsn 4269 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (¬
𝑤 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∖ {𝑤}) = 𝑥) |
94 | 50 | expr 641 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑅 Fr 𝑦 ∧ (𝑥 ∖ {𝑤}) ⊆ 𝑦) → ((𝑥 ∖ {𝑤}) ≠ ∅ → ∃𝑢 ∈ 𝑥 ∀𝑣 ∈ (𝑥 ∖ {𝑤}) ¬ 𝑣𝑅𝑢)) |
95 | | neeq1 2844 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑥 ∖ {𝑤}) = 𝑥 → ((𝑥 ∖ {𝑤}) ≠ ∅ ↔ 𝑥 ≠ ∅)) |
96 | | raleq 3115 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝑥 ∖ {𝑤}) = 𝑥 → (∀𝑣 ∈ (𝑥 ∖ {𝑤}) ¬ 𝑣𝑅𝑢 ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑥 ¬ 𝑣𝑅𝑢)) |
97 | 96 | rexbidv 3034 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑥 ∖ {𝑤}) = 𝑥 → (∃𝑢 ∈ 𝑥 ∀𝑣 ∈ (𝑥 ∖ {𝑤}) ¬ 𝑣𝑅𝑢 ↔ ∃𝑢 ∈ 𝑥 ∀𝑣 ∈ 𝑥 ¬ 𝑣𝑅𝑢)) |
98 | 95, 97 | imbi12d 333 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑥 ∖ {𝑤}) = 𝑥 → (((𝑥 ∖ {𝑤}) ≠ ∅ → ∃𝑢 ∈ 𝑥 ∀𝑣 ∈ (𝑥 ∖ {𝑤}) ¬ 𝑣𝑅𝑢) ↔ (𝑥 ≠ ∅ → ∃𝑢 ∈ 𝑥 ∀𝑣 ∈ 𝑥 ¬ 𝑣𝑅𝑢))) |
99 | 94, 98 | syl5ibcom 234 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑅 Fr 𝑦 ∧ (𝑥 ∖ {𝑤}) ⊆ 𝑦) → ((𝑥 ∖ {𝑤}) = 𝑥 → (𝑥 ≠ ∅ → ∃𝑢 ∈ 𝑥 ∀𝑣 ∈ 𝑥 ¬ 𝑣𝑅𝑢))) |
100 | 99 | com23 84 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑅 Fr 𝑦 ∧ (𝑥 ∖ {𝑤}) ⊆ 𝑦) → (𝑥 ≠ ∅ → ((𝑥 ∖ {𝑤}) = 𝑥 → ∃𝑢 ∈ 𝑥 ∀𝑣 ∈ 𝑥 ¬ 𝑣𝑅𝑢))) |
101 | 100 | adantll 746 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝑅 Po (𝑦 ∪ {𝑤}) ∧ 𝑅 Fr 𝑦) ∧ (𝑥 ∖ {𝑤}) ⊆ 𝑦) → (𝑥 ≠ ∅ → ((𝑥 ∖ {𝑤}) = 𝑥 → ∃𝑢 ∈ 𝑥 ∀𝑣 ∈ 𝑥 ¬ 𝑣𝑅𝑢))) |
102 | 101 | impr 647 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝑅 Po (𝑦 ∪ {𝑤}) ∧ 𝑅 Fr 𝑦) ∧ ((𝑥 ∖ {𝑤}) ⊆ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → ((𝑥 ∖ {𝑤}) = 𝑥 → ∃𝑢 ∈ 𝑥 ∀𝑣 ∈ 𝑥 ¬ 𝑣𝑅𝑢)) |
103 | 93, 102 | syl5 33 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝑅 Po (𝑦 ∪ {𝑤}) ∧ 𝑅 Fr 𝑦) ∧ ((𝑥 ∖ {𝑤}) ⊆ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → (¬ 𝑤 ∈ 𝑥 → ∃𝑢 ∈ 𝑥 ∀𝑣 ∈ 𝑥 ¬ 𝑣𝑅𝑢)) |
104 | 92, 103 | pm2.61d 169 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑅 Po (𝑦 ∪ {𝑤}) ∧ 𝑅 Fr 𝑦) ∧ ((𝑥 ∖ {𝑤}) ⊆ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → ∃𝑢 ∈ 𝑥 ∀𝑣 ∈ 𝑥 ¬ 𝑣𝑅𝑢) |
105 | 104 | ex 449 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑅 Po (𝑦 ∪ {𝑤}) ∧ 𝑅 Fr 𝑦) → (((𝑥 ∖ {𝑤}) ⊆ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ∃𝑢 ∈ 𝑥 ∀𝑣 ∈ 𝑥 ¬ 𝑣𝑅𝑢)) |
106 | 23, 105 | syl5bi 231 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑅 Po (𝑦 ∪ {𝑤}) ∧ 𝑅 Fr 𝑦) → ((𝑥 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑤}) ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ∃𝑢 ∈ 𝑥 ∀𝑣 ∈ 𝑥 ¬ 𝑣𝑅𝑢)) |
107 | 106 | alrimiv 1842 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑅 Po (𝑦 ∪ {𝑤}) ∧ 𝑅 Fr 𝑦) → ∀𝑥((𝑥 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑤}) ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ∃𝑢 ∈ 𝑥 ∀𝑣 ∈ 𝑥 ¬ 𝑣𝑅𝑢)) |
108 | | df-fr 4997 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑅 Fr (𝑦 ∪ {𝑤}) ↔ ∀𝑥((𝑥 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑤}) ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ∃𝑢 ∈ 𝑥 ∀𝑣 ∈ 𝑥 ¬ 𝑣𝑅𝑢)) |
109 | 107, 108 | sylibr 223 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑅 Po (𝑦 ∪ {𝑤}) ∧ 𝑅 Fr 𝑦) → 𝑅 Fr (𝑦 ∪ {𝑤})) |
110 | 109 | ex 449 |
. . . . 5
⊢ (𝑅 Po (𝑦 ∪ {𝑤}) → (𝑅 Fr 𝑦 → 𝑅 Fr (𝑦 ∪ {𝑤}))) |
111 | 18, 110 | sylcom 30 |
. . . 4
⊢ ((𝑅 Po 𝑦 → 𝑅 Fr 𝑦) → (𝑅 Po (𝑦 ∪ {𝑤}) → 𝑅 Fr (𝑦 ∪ {𝑤}))) |
112 | 111 | a1i 11 |
. . 3
⊢ (𝑦 ∈ Fin → ((𝑅 Po 𝑦 → 𝑅 Fr 𝑦) → (𝑅 Po (𝑦 ∪ {𝑤}) → 𝑅 Fr (𝑦 ∪ {𝑤})))) |
113 | 3, 6, 9, 12, 14, 112 | findcard2 8085 |
. 2
⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝑅 Po 𝐴 → 𝑅 Fr 𝐴)) |
114 | 113 | impcom 445 |
1
⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝑅 Fr 𝐴) |