Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fproddvdsd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fproddvdsd 14897
 Description: A finite product of integers is divisible by any of its factors. (Contributed by AV, 14-Aug-2020.) (Proof shortened by AV, 2-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
fproddvdsd.f (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fproddvdsd.s (𝜑𝐴 ⊆ ℤ)
Assertion
Ref Expression
fproddvdsd (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝑥 ∥ ∏𝑘𝐴 𝑘)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑥)

Proof of Theorem fproddvdsd
StepHypRef Expression
1 fproddvdsd.f . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
2 fproddvdsd.s . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ ℤ)
3 f1oi 6086 . . . 4 ( I ↾ ℤ):ℤ–1-1-onto→ℤ
4 f1of 6050 . . . 4 (( I ↾ ℤ):ℤ–1-1-onto→ℤ → ( I ↾ ℤ):ℤ⟶ℤ)
53, 4mp1i 13 . . 3 (𝜑 → ( I ↾ ℤ):ℤ⟶ℤ)
61, 2, 5fprodfvdvdsd 14896 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 (( I ↾ ℤ)‘𝑥) ∥ ∏𝑘𝐴 (( I ↾ ℤ)‘𝑘))
72sselda 3568 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℤ)
8 fvresi 6344 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℤ → (( I ↾ ℤ)‘𝑥) = 𝑥)
97, 8syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → (( I ↾ ℤ)‘𝑥) = 𝑥)
109eqcomd 2616 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 = (( I ↾ ℤ)‘𝑥))
112sseld 3567 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑘𝐴𝑘 ∈ ℤ))
1211adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑘𝐴𝑘 ∈ ℤ))
1312imp 444 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑘𝐴) → 𝑘 ∈ ℤ)
14 fvresi 6344 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℤ → (( I ↾ ℤ)‘𝑘) = 𝑘)
1513, 14syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑘𝐴) → (( I ↾ ℤ)‘𝑘) = 𝑘)
1615eqcomd 2616 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑘𝐴) → 𝑘 = (( I ↾ ℤ)‘𝑘))
1716prodeq2dv 14492 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → ∏𝑘𝐴 𝑘 = ∏𝑘𝐴 (( I ↾ ℤ)‘𝑘))
1810, 17breq12d 4596 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑥 ∥ ∏𝑘𝐴 𝑘 ↔ (( I ↾ ℤ)‘𝑥) ∥ ∏𝑘𝐴 (( I ↾ ℤ)‘𝑘)))
1918ralbidva 2968 . 2 (𝜑 → (∀𝑥𝐴 𝑥 ∥ ∏𝑘𝐴 𝑘 ↔ ∀𝑥𝐴 (( I ↾ ℤ)‘𝑥) ∥ ∏𝑘𝐴 (( I ↾ ℤ)‘𝑘)))
206, 19mpbird 246 1 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝑥 ∥ ∏𝑘𝐴 𝑘)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896   ⊆ wss 3540   class class class wbr 4583   I cid 4948   ↾ cres 5040  ⟶wf 5800  –1-1-onto→wf1o 5803  ‘cfv 5804  Fincfn 7841  ℤcz 11254  ∏cprod 14474   ∥ cdvds 14821 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-prod 14475  df-dvds 14822 This theorem is referenced by:  absproddvds  15168
 Copyright terms: Public domain W3C validator