Theorem fourierdlem13 39013

Description: Value of 𝑉 in terms of value of 𝑄. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem13.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem13.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem13.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem13.p	⊢ 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (𝐴 + 𝑋) ∧ (𝑝‘𝑚) = (𝐵 + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem13.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem13.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ (𝑃‘𝑀))
fourierdlem13.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (0...𝑀))
fourierdlem13.q	⊢ 𝑄 = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉‘𝑖) − 𝑋))

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem13	⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝐼) = ((𝑉‘𝐼) − 𝑋) ∧ (𝑉‘𝐼) = (𝑋 + (𝑄‘𝐼))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑚,𝑝   𝐵,𝑚,𝑝   𝑖,𝐼   𝑖,𝑀,𝑚,𝑝   𝑖,𝑉,𝑝   𝑖,𝑋,𝑚,𝑝   𝜑,𝑖

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑝)   𝐴(𝑖)   𝐵(𝑖)   𝑃(𝑖,𝑚,𝑝)   𝑄(𝑖,𝑚,𝑝)   𝐼(𝑚,𝑝)   𝑉(𝑚)

Proof of Theorem fourierdlem13

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem13.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉‘𝑖) − 𝑋))
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉‘𝑖) − 𝑋)))
3		simpr 476	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 𝐼) → 𝑖 = 𝐼)
4	3	fveq2d 6107	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 𝐼) → (𝑉‘𝑖) = (𝑉‘𝐼))
5	4	oveq1d 6564	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 𝐼) → ((𝑉‘𝑖) − 𝑋) = ((𝑉‘𝐼) − 𝑋))
6		fourierdlem13.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (0...𝑀))
7		fourierdlem13.v	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ (𝑃‘𝑀))
8		fourierdlem13.m	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
9		fourierdlem13.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (𝐴 + 𝑋) ∧ (𝑝‘𝑚) = (𝐵 + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
10	9	fourierdlem2 39002	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑉 ∈ (𝑃‘𝑀) ↔ (𝑉 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑀)) ∧ (((𝑉‘0) = (𝐴 + 𝑋) ∧ (𝑉‘𝑀) = (𝐵 + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑉‘𝑖) < (𝑉‘(𝑖 + 1))))))
11	8, 10	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑉 ∈ (𝑃‘𝑀) ↔ (𝑉 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑀)) ∧ (((𝑉‘0) = (𝐴 + 𝑋) ∧ (𝑉‘𝑀) = (𝐵 + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑉‘𝑖) < (𝑉‘(𝑖 + 1))))))
12	7, 11	mpbid 221	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑉 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑀)) ∧ (((𝑉‘0) = (𝐴 + 𝑋) ∧ (𝑉‘𝑀) = (𝐵 + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑉‘𝑖) < (𝑉‘(𝑖 + 1)))))
13	12	simpld 474	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑀)))
14		elmapi 7765	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑀)) → 𝑉:(0...𝑀)⟶ℝ)
15	13, 14	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑉:(0...𝑀)⟶ℝ)
16	15, 6	ffvelrnd 6268	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑉‘𝐼) ∈ ℝ)
17		fourierdlem13.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
18	16, 17	resubcld 10337	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑉‘𝐼) − 𝑋) ∈ ℝ)
19	2, 5, 6, 18	fvmptd 6197	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐼) = ((𝑉‘𝐼) − 𝑋))
20	19	oveq2d 6565	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝑄‘𝐼)) = (𝑋 + ((𝑉‘𝐼) − 𝑋)))
21	17	recnd 9947	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
22	16	recnd 9947	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑉‘𝐼) ∈ ℂ)
23	21, 22	pncan3d 10274	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + ((𝑉‘𝐼) − 𝑋)) = (𝑉‘𝐼))
24	20, 23	eqtr2d 2645	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑉‘𝐼) = (𝑋 + (𝑄‘𝐼)))
25	19, 24	jca 553	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝐼) = ((𝑉‘𝐼) − 𝑋) ∧ (𝑉‘𝐼) = (𝑋 + (𝑄‘𝐼))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  {crab 2900   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↑_𝑚 cmap 7744  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   < clt 9953   − cmin 10145  ℕcn 10897  ...cfz 12197  ..^cfzo 12334

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-ltxr 9958  df-sub 10147  df-neg 10148

This theorem is referenced by:  fourierdlem72  39071  fourierdlem103  39102  fourierdlem104  39103