Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierclim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierclim 39117
 Description: Fourier series convergence, for piecewise smooth functions. See fourier 39118 for the analogous Σ equation. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierclim.f 𝐹:ℝ⟶ℝ
fourierclim.t 𝑇 = (2 · π)
fourierclim.per (𝑥 ∈ ℝ → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
fourierclim.g 𝐺 = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))
fourierclim.dmdv ((-π(,)π) ∖ dom 𝐺) ∈ Fin
fourierclim.dvcn 𝐺 ∈ (dom 𝐺cn→ℂ)
fourierclim.rlim (𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom 𝐺) → ((𝐺 ↾ (𝑥(,)+∞)) lim 𝑥) ≠ ∅)
fourierclim.llim (𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom 𝐺) → ((𝐺 ↾ (-∞(,)𝑥)) lim 𝑥) ≠ ∅)
fourierclim.x 𝑋 ∈ ℝ
fourierclim.l 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋)
fourierclim.r 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋)
fourierclim.a 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
fourierclim.b 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
fourierclim.s 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐴𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))
Assertion
Ref Expression
fourierclim seq1( + , 𝑆) ⇝ (((𝐿 + 𝑅) / 2) − ((𝐴‘0) / 2))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐹,𝑥   𝑥,𝐺   𝑥,𝑇   𝑛,𝑋,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑛)   𝐵(𝑥,𝑛)   𝑅(𝑥,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑛)   𝑇(𝑛)   𝐺(𝑛)   𝐿(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem fourierclim
StepHypRef Expression
1 fourierclim.f . . . 4 𝐹:ℝ⟶ℝ
21a1i 11 . . 3 (⊤ → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
3 fourierclim.t . . 3 𝑇 = (2 · π)
4 fourierclim.per . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
54adantl 481 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
6 fourierclim.g . . 3 𝐺 = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))
7 fourierclim.dmdv . . . 4 ((-π(,)π) ∖ dom 𝐺) ∈ Fin
87a1i 11 . . 3 (⊤ → ((-π(,)π) ∖ dom 𝐺) ∈ Fin)
9 fourierclim.dvcn . . . 4 𝐺 ∈ (dom 𝐺cn→ℂ)
109a1i 11 . . 3 (⊤ → 𝐺 ∈ (dom 𝐺cn→ℂ))
11 fourierclim.rlim . . . 4 (𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom 𝐺) → ((𝐺 ↾ (𝑥(,)+∞)) lim 𝑥) ≠ ∅)
1211adantl 481 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom 𝐺)) → ((𝐺 ↾ (𝑥(,)+∞)) lim 𝑥) ≠ ∅)
13 fourierclim.llim . . . 4 (𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom 𝐺) → ((𝐺 ↾ (-∞(,)𝑥)) lim 𝑥) ≠ ∅)
1413adantl 481 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom 𝐺)) → ((𝐺 ↾ (-∞(,)𝑥)) lim 𝑥) ≠ ∅)
15 fourierclim.x . . . 4 𝑋 ∈ ℝ
1615a1i 11 . . 3 (⊤ → 𝑋 ∈ ℝ)
17 fourierclim.l . . . 4 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋)
1817a1i 11 . . 3 (⊤ → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
19 fourierclim.r . . . 4 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋)
2019a1i 11 . . 3 (⊤ → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋))
21 fourierclim.a . . 3 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
22 fourierclim.b . . 3 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
23 fourierclim.s . . 3 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐴𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))
242, 3, 5, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 21, 22, 23fourierclimd 39116 . 2 (⊤ → seq1( + , 𝑆) ⇝ (((𝐿 + 𝑅) / 2) − ((𝐴‘0) / 2)))
2524trud 1484 1 seq1( + , 𝑆) ⇝ (((𝐿 + 𝑅) / 2) − ((𝐴‘0) / 2))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475  ⊤wtru 1476   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   ∖ cdif 3537  ∅c0 3874   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  dom cdm 5038   ↾ cres 5040  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820  +∞cpnf 9950  -∞cmnf 9951   − cmin 10145  -cneg 10146   / cdiv 10563  ℕcn 10897  2c2 10947  ℕ0cn0 11169  (,)cioo 12046  (,]cioc 12047  [,)cico 12048  seqcseq 12663   ⇝ cli 14063  sincsin 14633  cosccos 14634  πcpi 14636  –cn→ccncf 22487  ∫citg 23193   limℂ climc 23432   D cdv 23433 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cc 9140  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-disj 4554  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-ofr 6796  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-omul 7452  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-acn 8651  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ioc 12051  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-bc 12952  df-hash 12980  df-shft 13655  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-limsup 14050  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-ef 14637  df-sin 14639  df-cos 14640  df-pi 14642  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-lp 20750  df-perf 20751  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-t1 20928  df-haus 20929  df-cmp 21000  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-cncf 22489  df-ovol 23040  df-vol 23041  df-mbf 23194  df-itg1 23195  df-itg2 23196  df-ibl 23197  df-itg 23198  df-0p 23243  df-ditg 23417  df-limc 23436  df-dv 23437 This theorem is referenced by:  fouriersw  39124
 Copyright terms: Public domain W3C validator