Theorem fornex 7028

Description: If the domain of an onto function exists, so does its codomain. (Contributed by NM, 23-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
fornex	⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → 𝐵 ∈ V))

Proof of Theorem fornex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fofun 6029	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → Fun 𝐹)
2		funrnex 7026	. . . 4 ⊢ (dom 𝐹 ∈ 𝐶 → (Fun 𝐹 → ran 𝐹 ∈ V))
3	1, 2	syl5com 31	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → (dom 𝐹 ∈ 𝐶 → ran 𝐹 ∈ V))
4		fof 6028	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
5		fdm 5964	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → dom 𝐹 = 𝐴)
6	4, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → dom 𝐹 = 𝐴)
7	6	eleq1d 2672	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → (dom 𝐹 ∈ 𝐶 ↔ 𝐴 ∈ 𝐶))
8		forn 6031	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → ran 𝐹 = 𝐵)
9	8	eleq1d 2672	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → (ran 𝐹 ∈ V ↔ 𝐵 ∈ V))
10	3, 7, 9	3imtr3d 281	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐶 → 𝐵 ∈ V))
11	10	com12 32	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → 𝐵 ∈ V))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173  dom cdm 5038  ran crn 5039  Fun wfun 5798  ⟶wf 5800  –onto→wfo 5802

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812

This theorem is referenced by:  f1dmex  7029  f1ovv  7030  f1oeng  7860  fodomnum  8763  ttukeylem1  9214  fodomb  9229  cnexALT  11704  imasbas  15995  imasds  15996  elqtop  21310  qtoprest  21330  indishmph  21411  imasf1oxmet  21990  foresf1o  28727  noprc  31080  sge0f1o  39275  sge0fodjrnlem  39309