Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fodomfib Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fodomfib 8125
 Description: Equivalence of an onto mapping and dominance for a nonempty finite set. Unlike fodomb 9229 for arbitrary sets, this theorem does not require the Axiom of Choice for its proof. (Contributed by NM, 23-Mar-2006.)
Assertion
Ref Expression
fodomfib (𝐴 ∈ Fin → ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐴onto𝐵) ↔ (∅ ≺ 𝐵𝐵𝐴)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓

Proof of Theorem fodomfib
StepHypRef Expression
1 fof 6028 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓:𝐴onto𝐵𝑓:𝐴𝐵)
2 fdm 5964 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓:𝐴𝐵 → dom 𝑓 = 𝐴)
31, 2syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:𝐴onto𝐵 → dom 𝑓 = 𝐴)
43eqeq1d 2612 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:𝐴onto𝐵 → (dom 𝑓 = ∅ ↔ 𝐴 = ∅))
5 dm0rn0 5263 . . . . . . . . . . . 12 (dom 𝑓 = ∅ ↔ ran 𝑓 = ∅)
6 forn 6031 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓:𝐴onto𝐵 → ran 𝑓 = 𝐵)
76eqeq1d 2612 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:𝐴onto𝐵 → (ran 𝑓 = ∅ ↔ 𝐵 = ∅))
85, 7syl5bb 271 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:𝐴onto𝐵 → (dom 𝑓 = ∅ ↔ 𝐵 = ∅))
94, 8bitr3d 269 . . . . . . . . . 10 (𝑓:𝐴onto𝐵 → (𝐴 = ∅ ↔ 𝐵 = ∅))
109necon3bid 2826 . . . . . . . . 9 (𝑓:𝐴onto𝐵 → (𝐴 ≠ ∅ ↔ 𝐵 ≠ ∅))
1110biimpac 502 . . . . . . . 8 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝑓:𝐴onto𝐵) → 𝐵 ≠ ∅)
1211adantll 746 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:𝐴onto𝐵) → 𝐵 ≠ ∅)
13 vex 3176 . . . . . . . . . . . 12 𝑓 ∈ V
1413rnex 6992 . . . . . . . . . . 11 ran 𝑓 ∈ V
156, 14syl6eqelr 2697 . . . . . . . . . 10 (𝑓:𝐴onto𝐵𝐵 ∈ V)
1615adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝐴onto𝐵) → 𝐵 ∈ V)
17 0sdomg 7974 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ V → (∅ ≺ 𝐵𝐵 ≠ ∅))
1816, 17syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝐴onto𝐵) → (∅ ≺ 𝐵𝐵 ≠ ∅))
1918adantlr 747 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:𝐴onto𝐵) → (∅ ≺ 𝐵𝐵 ≠ ∅))
2012, 19mpbird 246 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:𝐴onto𝐵) → ∅ ≺ 𝐵)
2120ex 449 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑓:𝐴onto𝐵 → ∅ ≺ 𝐵))
22 fodomfi 8124 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝐴onto𝐵) → 𝐵𝐴)
2322ex 449 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Fin → (𝑓:𝐴onto𝐵𝐵𝐴))
2423adantr 480 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑓:𝐴onto𝐵𝐵𝐴))
2521, 24jcad 554 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑓:𝐴onto𝐵 → (∅ ≺ 𝐵𝐵𝐴)))
2625exlimdv 1848 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑓 𝑓:𝐴onto𝐵 → (∅ ≺ 𝐵𝐵𝐴)))
2726expimpd 627 . 2 (𝐴 ∈ Fin → ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐴onto𝐵) → (∅ ≺ 𝐵𝐵𝐴)))
28 sdomdomtr 7978 . . . 4 ((∅ ≺ 𝐵𝐵𝐴) → ∅ ≺ 𝐴)
29 0sdomg 7974 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin → (∅ ≺ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
3028, 29syl5ib 233 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → ((∅ ≺ 𝐵𝐵𝐴) → 𝐴 ≠ ∅))
31 fodomr 7996 . . . 4 ((∅ ≺ 𝐵𝐵𝐴) → ∃𝑓 𝑓:𝐴onto𝐵)
3231a1i 11 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → ((∅ ≺ 𝐵𝐵𝐴) → ∃𝑓 𝑓:𝐴onto𝐵))
3330, 32jcad 554 . 2 (𝐴 ∈ Fin → ((∅ ≺ 𝐵𝐵𝐴) → (𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐴onto𝐵)))
3427, 33impbid 201 1 (𝐴 ∈ Fin → ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐴onto𝐵) ↔ (∅ ≺ 𝐵𝐵𝐴)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475  ∃wex 1695   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  Vcvv 3173  ∅c0 3874   class class class wbr 4583  dom cdm 5038  ran crn 5039  ⟶wf 5800  –onto→wfo 5802   ≼ cdom 7839   ≺ csdm 7840  Fincfn 7841 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-om 6958  df-1o 7447  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator