MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  flltdivnn0lt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem flltdivnn0lt 12496
Description: The floor function of a division of a nonnegative integer by a positive integer is less than the division of a greater dividend by the same positive integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Apr-2018.)
Assertion
Ref Expression
flltdivnn0lt ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ) → (𝐾 < 𝑁 → (⌊‘(𝐾 / 𝐿)) < (𝑁 / 𝐿)))

Proof of Theorem flltdivnn0lt
StepHypRef Expression
1 nn0nndivcl 11239 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ) → (𝐾 / 𝐿) ∈ ℝ)
2 reflcl 12459 . . . . . . 7 ((𝐾 / 𝐿) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐾 / 𝐿)) ∈ ℝ)
31, 2syl 17 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝐾 / 𝐿)) ∈ ℝ)
433adant2 1073 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝐾 / 𝐿)) ∈ ℝ)
513adant2 1073 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ) → (𝐾 / 𝐿) ∈ ℝ)
6 nn0nndivcl 11239 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ) → (𝑁 / 𝐿) ∈ ℝ)
763adant1 1072 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ) → (𝑁 / 𝐿) ∈ ℝ)
84, 5, 73jca 1235 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝐾 / 𝐿)) ∈ ℝ ∧ (𝐾 / 𝐿) ∈ ℝ ∧ (𝑁 / 𝐿) ∈ ℝ))
98adantr 480 . . 3 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 < 𝑁) → ((⌊‘(𝐾 / 𝐿)) ∈ ℝ ∧ (𝐾 / 𝐿) ∈ ℝ ∧ (𝑁 / 𝐿) ∈ ℝ))
10 fldivnn0le 12495 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝐾 / 𝐿)) ≤ (𝐾 / 𝐿))
11103adant2 1073 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝐾 / 𝐿)) ≤ (𝐾 / 𝐿))
1211adantr 480 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 < 𝑁) → (⌊‘(𝐾 / 𝐿)) ≤ (𝐾 / 𝐿))
13 simpr 476 . . . . 5 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝐾 < 𝑁)
14 nn0re 11178 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℝ)
15 nn0re 11178 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
16 nnre 10904 . . . . . . . . 9 (𝐿 ∈ ℕ → 𝐿 ∈ ℝ)
17 nngt0 10926 . . . . . . . . 9 (𝐿 ∈ ℕ → 0 < 𝐿)
1816, 17jca 553 . . . . . . . 8 (𝐿 ∈ ℕ → (𝐿 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐿))
1914, 15, 183anim123i 1240 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ) → (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝐿 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐿)))
2019adantr 480 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝐿 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐿)))
21 ltdiv1 10766 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝐿 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐿)) → (𝐾 < 𝑁 ↔ (𝐾 / 𝐿) < (𝑁 / 𝐿)))
2220, 21syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝐾 < 𝑁 ↔ (𝐾 / 𝐿) < (𝑁 / 𝐿)))
2313, 22mpbid 221 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝐾 / 𝐿) < (𝑁 / 𝐿))
2412, 23jca 553 . . 3 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 < 𝑁) → ((⌊‘(𝐾 / 𝐿)) ≤ (𝐾 / 𝐿) ∧ (𝐾 / 𝐿) < (𝑁 / 𝐿)))
25 lelttr 10007 . . 3 (((⌊‘(𝐾 / 𝐿)) ∈ ℝ ∧ (𝐾 / 𝐿) ∈ ℝ ∧ (𝑁 / 𝐿) ∈ ℝ) → (((⌊‘(𝐾 / 𝐿)) ≤ (𝐾 / 𝐿) ∧ (𝐾 / 𝐿) < (𝑁 / 𝐿)) → (⌊‘(𝐾 / 𝐿)) < (𝑁 / 𝐿)))
269, 24, 25sylc 63 . 2 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 < 𝑁) → (⌊‘(𝐾 / 𝐿)) < (𝑁 / 𝐿))
2726ex 449 1 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ) → (𝐾 < 𝑁 → (⌊‘(𝐾 / 𝐿)) < (𝑁 / 𝐿)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383  w3a 1031  wcel 1977   class class class wbr 4583  cfv 5804  (class class class)co 6549  cr 9814  0cc0 9815   < clt 9953  cle 9954   / cdiv 10563  cn 10897  0cn0 11169  cfl 12453
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fl 12455
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator