Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fleqceilz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fleqceilz 12515
 Description: A real number is an integer iff its floor equals its ceiling. (Contributed by AV, 30-Nov-2018.)
Assertion
Ref Expression
fleqceilz (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℤ ↔ (⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴)))

Proof of Theorem fleqceilz
StepHypRef Expression
1 flid 12471 . . 3 (𝐴 ∈ ℤ → (⌊‘𝐴) = 𝐴)
2 ceilid 12512 . . 3 (𝐴 ∈ ℤ → (⌈‘𝐴) = 𝐴)
31, 2eqtr4d 2647 . 2 (𝐴 ∈ ℤ → (⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴))
4 eqeq1 2614 . . . . . 6 ((⌊‘𝐴) = 𝐴 → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) ↔ 𝐴 = (⌈‘𝐴)))
54adantr 480 . . . . 5 (((⌊‘𝐴) = 𝐴𝐴 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) ↔ 𝐴 = (⌈‘𝐴)))
6 ceilidz 12513 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℤ ↔ (⌈‘𝐴) = 𝐴))
7 eqcom 2617 . . . . . . . 8 ((⌈‘𝐴) = 𝐴𝐴 = (⌈‘𝐴))
86, 7syl6bb 275 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℤ ↔ 𝐴 = (⌈‘𝐴)))
98biimprd 237 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 = (⌈‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ))
109adantl 481 . . . . 5 (((⌊‘𝐴) = 𝐴𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 = (⌈‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ))
115, 10sylbid 229 . . . 4 (((⌊‘𝐴) = 𝐴𝐴 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ))
1211ex 449 . . 3 ((⌊‘𝐴) = 𝐴 → (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)))
13 flle 12462 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
14 df-ne 2782 . . . . 5 ((⌊‘𝐴) ≠ 𝐴 ↔ ¬ (⌊‘𝐴) = 𝐴)
15 necom 2835 . . . . . 6 ((⌊‘𝐴) ≠ 𝐴𝐴 ≠ (⌊‘𝐴))
16 reflcl 12459 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
17 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ)
1816, 17ltlend 10061 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) < 𝐴 ↔ ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴𝐴 ≠ (⌊‘𝐴))))
19 breq1 4586 . . . . . . . . . . . . 13 ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) → ((⌊‘𝐴) < 𝐴 ↔ (⌈‘𝐴) < 𝐴))
2019adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴)) → ((⌊‘𝐴) < 𝐴 ↔ (⌈‘𝐴) < 𝐴))
21 ceilge 12507 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≤ (⌈‘𝐴))
22 ceilcl 12505 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ ℝ → (⌈‘𝐴) ∈ ℤ)
2322zred 11358 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ ℝ → (⌈‘𝐴) ∈ ℝ)
2417, 23lenltd 10062 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ (⌈‘𝐴) ↔ ¬ (⌈‘𝐴) < 𝐴))
25 pm2.21 119 . . . . . . . . . . . . . . 15 (¬ (⌈‘𝐴) < 𝐴 → ((⌈‘𝐴) < 𝐴𝐴 ∈ ℤ))
2624, 25syl6bi 242 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ (⌈‘𝐴) → ((⌈‘𝐴) < 𝐴𝐴 ∈ ℤ)))
2721, 26mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℝ → ((⌈‘𝐴) < 𝐴𝐴 ∈ ℤ))
2827adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴)) → ((⌈‘𝐴) < 𝐴𝐴 ∈ ℤ))
2920, 28sylbid 229 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴)) → ((⌊‘𝐴) < 𝐴𝐴 ∈ ℤ))
3029ex 449 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) → ((⌊‘𝐴) < 𝐴𝐴 ∈ ℤ)))
3130com23 84 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) < 𝐴 → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)))
3218, 31sylbird 249 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴𝐴 ≠ (⌊‘𝐴)) → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)))
3332expd 451 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 → (𝐴 ≠ (⌊‘𝐴) → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ))))
3433com3r 85 . . . . . 6 (𝐴 ≠ (⌊‘𝐴) → (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ))))
3515, 34sylbi 206 . . . . 5 ((⌊‘𝐴) ≠ 𝐴 → (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ))))
3614, 35sylbir 224 . . . 4 (¬ (⌊‘𝐴) = 𝐴 → (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ))))
3713, 36mpdi 44 . . 3 (¬ (⌊‘𝐴) = 𝐴 → (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)))
3812, 37pm2.61i 175 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ))
393, 38impbid2 215 1 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℤ ↔ (⌊‘𝐴) = (⌈‘𝐴)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  ℝcr 9814   < clt 9953   ≤ cle 9954  ℤcz 11254  ⌊cfl 12453  ⌈cceil 12454 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fl 12455  df-ceil 12456 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator