Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fiss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fiss 8213
 Description: Subset relationship for function fi. (Contributed by Jeff Hankins, 7-Oct-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
fiss ((𝐵𝑉𝐴𝐵) → (fi‘𝐴) ⊆ (fi‘𝐵))

Proof of Theorem fiss
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sstr2 3575 . . . . . 6 (𝐴𝐵 → (𝐵𝑦𝐴𝑦))
21adantl 481 . . . . 5 ((𝐵𝑉𝐴𝐵) → (𝐵𝑦𝐴𝑦))
32anim1d 586 . . . 4 ((𝐵𝑉𝐴𝐵) → ((𝐵𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦𝑧𝑦 (𝑥𝑧) ∈ 𝑦) → (𝐴𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦𝑧𝑦 (𝑥𝑧) ∈ 𝑦)))
43ss2abdv 3638 . . 3 ((𝐵𝑉𝐴𝐵) → {𝑦 ∣ (𝐵𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦𝑧𝑦 (𝑥𝑧) ∈ 𝑦)} ⊆ {𝑦 ∣ (𝐴𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦𝑧𝑦 (𝑥𝑧) ∈ 𝑦)})
5 intss 4433 . . 3 ({𝑦 ∣ (𝐵𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦𝑧𝑦 (𝑥𝑧) ∈ 𝑦)} ⊆ {𝑦 ∣ (𝐴𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦𝑧𝑦 (𝑥𝑧) ∈ 𝑦)} → {𝑦 ∣ (𝐴𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦𝑧𝑦 (𝑥𝑧) ∈ 𝑦)} ⊆ {𝑦 ∣ (𝐵𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦𝑧𝑦 (𝑥𝑧) ∈ 𝑦)})
64, 5syl 17 . 2 ((𝐵𝑉𝐴𝐵) → {𝑦 ∣ (𝐴𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦𝑧𝑦 (𝑥𝑧) ∈ 𝑦)} ⊆ {𝑦 ∣ (𝐵𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦𝑧𝑦 (𝑥𝑧) ∈ 𝑦)})
7 ssexg 4732 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐵𝑉) → 𝐴 ∈ V)
87ancoms 468 . . 3 ((𝐵𝑉𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ V)
9 dffi2 8212 . . 3 (𝐴 ∈ V → (fi‘𝐴) = {𝑦 ∣ (𝐴𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦𝑧𝑦 (𝑥𝑧) ∈ 𝑦)})
108, 9syl 17 . 2 ((𝐵𝑉𝐴𝐵) → (fi‘𝐴) = {𝑦 ∣ (𝐴𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦𝑧𝑦 (𝑥𝑧) ∈ 𝑦)})
11 dffi2 8212 . . 3 (𝐵𝑉 → (fi‘𝐵) = {𝑦 ∣ (𝐵𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦𝑧𝑦 (𝑥𝑧) ∈ 𝑦)})
1211adantr 480 . 2 ((𝐵𝑉𝐴𝐵) → (fi‘𝐵) = {𝑦 ∣ (𝐵𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦𝑧𝑦 (𝑥𝑧) ∈ 𝑦)})
136, 10, 123sstr4d 3611 1 ((𝐵𝑉𝐴𝐵) → (fi‘𝐴) ⊆ (fi‘𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  {cab 2596  ∀wral 2896  Vcvv 3173   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  ∩ cint 4410  ‘cfv 5804  ficfi 8199 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-fin 7845  df-fi 8200 This theorem is referenced by:  fipwuni  8215  elfiun  8219  tgfiss  20606  ordtbas  20806  leordtval2  20826  lecldbas  20833  2ndcsb  21062  ptbasfi  21194  fclscmpi  21643  prdsxmslem2  22144
 Copyright terms: Public domain W3C validator