Theorem finxp3o 32413

Description: The value of Cartesian exponentiation at three. (Contributed by ML, 24-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
finxp3o	⊢ (𝑈↑↑3𝑜) = ((𝑈 × 𝑈) × 𝑈)

Proof of Theorem finxp3o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3o 7449	. . 3 ⊢ 3𝑜 = suc 2𝑜
2		finxpeq2 32400	. . 3 ⊢ (3𝑜 = suc 2𝑜 → (𝑈↑↑3𝑜) = (𝑈↑↑suc 2𝑜))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝑈↑↑3𝑜) = (𝑈↑↑suc 2𝑜)
4		2onn 7607	. . 3 ⊢ 2𝑜 ∈ ω
5		2on0 7456	. . 3 ⊢ 2𝑜 ≠ ∅
6		finxpsuc 32411	. . 3 ⊢ ((2𝑜 ∈ ω ∧ 2𝑜 ≠ ∅) → (𝑈↑↑suc 2𝑜) = ((𝑈↑↑2𝑜) × 𝑈))
7	4, 5, 6	mp2an 704	. 2 ⊢ (𝑈↑↑suc 2𝑜) = ((𝑈↑↑2𝑜) × 𝑈)
8		finxp2o 32412	. . 3 ⊢ (𝑈↑↑2𝑜) = (𝑈 × 𝑈)
9	8	xpeq1i 5059	. 2 ⊢ ((𝑈↑↑2𝑜) × 𝑈) = ((𝑈 × 𝑈) × 𝑈)
10	3, 7, 9	3eqtri 2636	1 ⊢ (𝑈↑↑3𝑜) = ((𝑈 × 𝑈) × 𝑈)

Syntax hints:   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∅c0 3874   × cxp 5036  suc csuc 5642  ωcom 6957  2_𝑜c2o 7441  3_𝑜c3o 7442  ↑↑cfinxp 32396

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-reg 8380

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-3o 7449  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-finxp 32397

This theorem is referenced by: (None)